Corrente alternata e circuiti RLC: spiegazione, formule ed esempio svolto

Fai ruotare una spira in un campo magnetico uniforme: il flusso che la attraversa cambia, perché la spira «vede» il campo ora di fronte, ora di taglio. Per Faraday una variazione di flusso genera una forza elettromotrice: con rotazione uniforme $\Phi = NBA\cos(\omega t)$, e la sua variazione dà $\varepsilon = \varepsilon_0\sin(\omega t)$ con $\varepsilon_0 = NBA\omega$. Questo è l'alternatore: converte il lavoro di una turbina in una tensione sinusoidale. La rete europea è a $f = 50$ Hz, cioè $\omega = 2\pi f \approx 314$ rad/s: la tensione cambia segno 100 volte al secondo. Una grandezza che oscilla ha media zero, eppure una stufa scalda: la potenza $Ri^2$ non cambia segno. Il valore efficace è la tensione continua che nella stessa resistenza dissiperebbe la stessa potenza media. Per una sinusoide la media di $\sin^2$ vale $1/2$, quindi $V_{eff} = V_0/\sqrt{2}$ e $I_{eff} = I_0/\sqrt{2}$. I 230 V della presa sono efficaci: il picco è $230\sqrt{2} \approx 325$ V.

In alternata ogni componente risponde a modo suo, e la differenza è il tempo. Il resistore è il più semplice: $i = v/R$, corrente e tensione in fase. Il condensatore non lascia passare cariche: si carica e si scarica. Quando la tensione passa per lo zero e cresce più in fretta la corrente è massima, al picco è nulla: la corrente anticipa la tensione di $90^\circ$. Più alta la frequenza, meno il condensatore fa in tempo a riempirsi e più carica scorre: la reattanza capacitiva $X_C = 1/(\omega C)$ cala con $f$: muro in continua, quasi un filo ad alta frequenza. L'induttore fa l'opposto: per Lenz frena le variazioni di corrente, che insegue la tensione con un ritardo di $90^\circ$. Più rapida l'oscillazione, più forte il freno: $X_L = \omega L$ cresce con la frequenza. Tutto si tiene con i fasori: lancette che ruotano a velocità $\omega$; la lunghezza è l'ampiezza, l'angolo tra due lancette lo sfasamento, la proiezione verticale il valore istantaneo.

Nel circuito RLC serie la corrente è la stessa ovunque, ma le tensioni non si sommano come numeri: su $R$ è in fase con la corrente, su $L$ avanti e su $C$ indietro di $90^\circ$. Con i fasori $V_L$ e $V_C$ sono opposti e si elidono in parte; il resto, perpendicolare a $V_R$, si somma con Pitagora. Nasce l'impedenza $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, la «resistenza totale»: $I_{eff} = V_{eff}/Z$, con sfasamento $\tan\varphi = (X_L - X_C)/R$. Al crescere della frequenza $X_L$ sale e $X_C$ scende: a $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ si eguagliano. È la risonanza: $Z = R$, $\varphi = 0$, corrente massima. Così si sintonizza una radio: regoli $C$ finché risponde solo alla stazione scelta. L'energia oscilla tra il campo elettrico di $C$ e quello magnetico di $L$ come in un pendolo; solo $R$ la dissipa. La potenza media è $P = V_{eff} I_{eff}\cos\varphi$: $\cos\varphi$ è il fattore di potenza; un circuito sfasato di $90^\circ$ assorbe corrente senza consumare energia e scalda solo i cavi.

Il trasformatore è due avvolgimenti su un nucleo di ferro, senza contatto elettrico. La corrente alternata nel primario crea un flusso oscillante che il nucleo convoglia nel secondario, e per Faraday ogni spira, di qua e di là, riceve la stessa f.e.m. Quindi $V_2/V_1 = N_2/N_1$: più spire, più tensione. L'energia però non si crea: $V_1 I_1 = V_2 I_2$, la corrente scende dove la tensione sale. Ecco perché funziona solo in alternata: in continua il flusso è costante e non induce nulla. Qui sta la chiave del trasporto. Un cavo di resistenza $R$ percorso da $I$ dissipa $P = RI^2$: per portare la stessa potenza $P = VI$ con un decimo di corrente si perde cento volte meno. Conviene alzare la tensione a 380 kV in centrale, viaggiare per centinaia di chilometri e riabbassarla a gradini fino ai 230 V della presa. La rete usa la corrente trifase: tre tensioni sfasate di $120^\circ$: potenza costante e meno rame. Per questo l'alternata vinse sulla continua di Edison.