Relatività ristretta: spiegazione, formule ed esempio svolto

Nel 1905 Einstein costruisce tutta la relativita' ristretta su due idee semplici ma rivoluzionarie. La prima e' il principio di relativita': le leggi della fisica sono le stesse per ogni osservatore che si muove di moto rettilineo uniforme, cioe' a velocita' costante; non esiste un laboratorio 'fermo' privilegiato nell'universo. La seconda e' che la velocita' della luce nel vuoto, $c \approx 3 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$, e' la stessa per tutti, indipendentemente da come si muovono la sorgente e l'osservatore. Questo e' controintuitivo: se corri verso un'auto la sua velocita' rispetto a te aumenta, ma se corri verso un raggio di luce esso ti arriva sempre alla stessa $c$. Da queste due richieste discendono tutte le conseguenze 'strane' che vedremo: il tempo e lo spazio devono adattarsi per tenere $c$ costante.

Siamo abituati a pensare che 'adesso' sia lo stesso istante per tutti, ma Einstein mostra che non e' cosi'. Due eventi che per un osservatore accadono nello stesso istante possono accadere in momenti diversi per un altro osservatore in movimento rispetto al primo. Immagina un treno in corsa con una lampada al centro del vagone: per chi sta dentro la luce raggiunge le due pareti contemporaneamente, ma per chi sta fermo a terra la parete posteriore 'corre incontro' alla luce e quella anteriore 'scappa', quindi i due arrivi non sono simultanei. La causa e' proprio il fatto che la luce viaggia alla stessa $c$ per entrambi: se la sua velocita' e' fissa, allora a doversi 'piegare' e' il giudizio su cosa accade insieme. La relativita' della simultaneita' e' la radice da cui nascono la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.

Se la simultaneita' cambia da un osservatore all'altro, anche le misure di tempo e di spazio devono cambiare. Per la dilatazione dei tempi un orologio in movimento rispetto a te ticchetta piu' lentamente del tuo: il tempo 'scorre piu' piano' per chi si muove, secondo $\Delta t = \gamma\, \Delta t_0$, dove $\Delta t_0$ e' il tempo misurato da chi viaggia insieme all'orologio. Il fattore $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ vale circa $1$ alle velocita' quotidiane (per questo non ce ne accorgiamo) e cresce enormemente solo vicino a $c$ (vedi: radici quadrate). Specularmente, la contrazione delle lunghezze dice che un oggetto in moto appare piu' corto lungo la direzione del movimento, $L = \dfrac{L_0}{\gamma}$. Non sono illusioni o difetti degli strumenti: sono il modo in cui spazio e tempo si riorganizzano per mantenere $c$ uguale per tutti.

La conseguenza piu' famosa della teoria e' l'equivalenza massa-energia, riassunta da $E = m c^2$. Significa che la massa e' una forma 'congelata' di energia: anche un corpo perfettamente fermo possiede un'energia di riposo enorme, perche' $c^2$ e' un numero gigantesco. Una piccolissima quantita' di massa puo' quindi trasformarsi in una quantita' immensa di energia, ed e' esattamente cio' che accade nel Sole con la fusione nucleare e nelle centrali atomiche. La formula spiega anche perche' nessun oggetto dotato di massa puo' raggiungere la velocita' della luce: avvicinandosi a $c$ servirebbe un'energia infinita per accelerarlo ancora. Massa ed energia non sono due grandezze separate, ma due facce della stessa medaglia.

Nel 1887 Michelson e Morley cercavano l'etere, il presunto mezzo della luce. La Terra corre a $v \approx 30\ \mathrm{km/s}$: doveva sentire un «vento d'etere» e la luce, come un nuotatore controcorrente, rallentare lungo il moto. L'interferometro divide la luce su due bracci perpendicolari e la ricombina: ruotando l'apparato le frange dovevano spostarsi. Non si mossero: risultato nullo. La luce va alla stessa velocità in ogni direzione: da qui il secondo postulato (1905). Al posto di Galileo servono le trasformazioni di Lorentz: le velocità si compongono con $u' = \frac{u+v}{1+uv/c^2}$ e nulla supera $c$.

La relatività generale (1915) parte dal principio di equivalenza: in un ascensore chiuso non distingui gravità e accelerazione. La gravità non è una forza ma curvatura dello spazio-tempo (il telo elastico è solo un'immagine). Tre conferme: la deflessione della luce (eclissi del 1919), il perielio di Mercurio, il redshift gravitazionale (senza correzioni il GPS sbaglia di km al giorno). Nel 2015 LIGO ha rivelato le onde gravitazionali.