Fluidodinamica: spiegazione, formule ed esempio svolto

La fisica dei fluidi in moto parte da un modello: il fluido ideale, incomprimibile (la densità $\rho$ non cambia: per l'acqua è un'ottima approssimazione) e senza attrito interno. Il moto è stazionario quando in ogni punto la velocità non cambia nel tempo: le traiettorie sono allora curve fisse, le linee di corrente, che non si incrociano mai. In un fiume calmo ogni foglia che passa per un punto segue la strada della precedente. La grandezza chiave è la portata $Q = A\,v$, il volume che attraversa una sezione $A$ in un secondo ($\mathrm{m^3/s}$). Se il fluido è incomprimibile, il volume che entra in un tratto di tubo deve uscirne tutto: nulla si accumula, perché la massa si conserva. Da qui l'equazione di continuità $A_1 v_1 = A_2 v_2$. Il messaggio è sorprendente: dove il tubo si restringe l'acqua accelera. È quello che fai col dito sulla bocca del tubo da giardino: riduci $A$ e il getto schizza lontano, a parità di portata.

Il teorema di Bernoulli è la conservazione dell'energia per un fluido ideale in moto stazionario: lungo una linea di corrente $p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g h = \text{costante}$. Ogni termine è un'energia per unità di volume ($\mathrm{J/m^3}$, cioè pascal): $\tfrac12\rho v^2$ è la cinetica, $\rho g h$ la potenziale, e $p$ è il lavoro delle forze di pressione che spingono il fluido. Da dove viene? Una fetta d'acqua è spinta dalla pressione a monte e frenata da quella a valle: la differenza dei due lavori cambia la sua energia. Se il fluido è fermo ($v = 0$) resta $p + \rho g h = \text{costante}$, la legge di Stevino, che ne è un caso particolare. La conseguenza più famosa è controintuitiva: dove la velocità è alta la pressione è bassa. Sembra assurdo («va forte, quindi spinge forte»), ma chiediti: chi l'ha accelerata? L'acqua accelera solo se davanti trova meno pressione che dietro. L'alta velocità non è la causa della bassa pressione: ne è l'effetto.

Nel tubo di Venturi la sezione stretta fa correre l'acqua (continuità) e calare la pressione (Bernoulli). Da $\Delta p = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2)$ e dalla continuità ricavi $v_1$ e la portata $Q = A_1 v_1$. Torricelli: da un foro a profondità $h$ l'acqua esce a $v = \sqrt{2gh}$, come un sasso caduto da $h$. Non è un caso: superficie e foro sono entrambi a pressione atmosferica, e Bernoulli si riduce a $\rho g h = \tfrac12\rho v^2$. Il tubo di Pitot degli aerei misura $v = \sqrt{2\,\Delta p/\rho}$ dalla pressione d'arresto. Sulla portanza dell'ala, la storia del «percorso più lungo sul dorso, quindi l'aria deve correre per ricongiungersi» è sbagliata. L'ala inclinata devia l'aria in basso: per la terza legge di Newton l'aria spinge l'ala in alto, e sul dorso la pressione è minore. Una palla che ruota trascina l'aria e curva: effetto Magnus. Nello spruzzino l'aria veloce sul tubicino abbassa la pressione e il liquido sale.

L'acqua vera ha una viscosità $\eta$: attrito interno tra strati a velocità diverse. Sulla parete il fluido è fermo, al centro corre: il profilo di velocità è un paraboloide. Per una sferetta piccola e lenta vale la legge di Stokes $F = 6\pi\eta r v$. Nel miele accelera finché l'attrito pareggia peso meno spinta di Archimede, poi scende a velocità limite $v_{\text{lim}} = \frac{2 r^2 (\rho_s - \rho_f) g}{9\eta}$. A bassa velocità gli strati scorrono ordinati (laminare); oltre una soglia nascono vortici (turbolento): il fumo di una candela, dritto e poi a groviglio. Decide il numero di Reynolds $Re = \rho v d/\eta$: laminare sotto circa $2000$, turbolento sopra $3000$. In un tubo lungo Bernoulli non basta: l'attrito dissipa energia e la pressione cala lungo il tubo (perdite di carico). Nel laminare la legge di Poiseuille dice quanto: $Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8\eta L}$; quel $r^4$ spiega perché un'arteria un po' ristretta strozza il flusso.