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Fisica · 3ª superiore

Grandezze e vettori: spiegazione, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di grandezze e vettori con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

La spiegazione

Scalari e vettori

Una grandezza scalare è descritta da un numero con l'unità di misura (tempo tt, massa mm, temperatura). Una grandezza vettoriale ha bisogno di tre informazioni: modulo (quanto), direzione (la retta) e verso (da che parte) — la indichiamo con una freccetta, v⃗\vec{v}. Spostamento, velocità, accelerazione e forza sono vettori: per questo la fisica si "disegna".

Componenti e modulo

Un vettore nel piano si scrive con le componenti v⃗=(vx, vy)\vec{v}=(v_x,\,v_y). Dato modulo vv e angolo θ\theta con l'asse xx: vx=vcos⁡θv_x=v\cos\theta e vy=vsin⁡θv_y=v\sin\theta. Viceversa il modulo è v=vx2+vy2v=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}} e la direzione tan⁡θ=vyvx\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}. Scomporre un vettore lungo gli assi è la mossa che sblocca quasi tutti i problemi. (vedi: seno e coseno)

Somma e differenza

Per sommare due vettori: regola punta-coda (attacca la coda del secondo alla punta del primo) o del parallelogramma. In pratica si sommano le componenti: R⃗=(ax+bx,  ay+by)\vec{R}=(a_x+b_x,\;a_y+b_y). La differenza A⃗−B⃗\vec{A}-\vec{B} è A⃗+(−B⃗)\vec{A}+(-\vec{B}). Moltiplicare per uno scalare allunga/accorcia (e inverte il verso se negativo).

Le formule che servono

Modulo di un vettore (componenti)
v=vx2+vy2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
Componenti cartesiane
vx=vcos⁡θvy=vsin⁡θv_x = v\cos\theta \qquad v_y = v\sin\theta
Direzione del vettore
θ=arctan⁡ ⁣(vyvx)\theta = \arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right)
Somma di vettori (componenti)
s⃗=a⃗+b⃗  ⇒  sx=ax+bx,  sy=ay+by\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} \;\Rightarrow\; s_x = a_x + b_x,\; s_y = a_y + b_y
Prodotto per uno scalare
w⃗=k v⃗  ⇒  wx=kvx,  wy=kvy\vec{w} = k\,\vec{v} \;\Rightarrow\; w_x = k v_x,\; w_y = k v_y
Prodotto scalare
a⃗⋅b⃗=a b cos⁡θ=axbx+ayby\vec{a}\cdot\vec{b} = a\,b\,\cos\theta = a_x b_x + a_y b_y
Prodotto vettoriale (modulo)
∣a⃗×b⃗∣=a b sin⁡θ|\vec{a}\times\vec{b}| = a\,b\,\sin\theta
Versori e componenti
v⃗=vx ı^+vy ȷ^\vec{v} = v_x\,\hat{\imath} + v_y\,\hat{\jmath}

Un esempio svolto

Esercizio Un'imbarcazione ha una velocità rispetto all'acqua v⃗b\vec{v}_b di modulo 4,0 m/s4{,}0\ \text{m/s} diretta verso est. La corrente del fiume ha velocità v⃗c\vec{v}_c di modulo 3,0 m/s3{,}0\ \text{m/s} diretta verso nord. Determina modulo e direzione della velocità risultante v⃗\vec{v} dell'imbarcazione rispetto alla riva.

  1. Scelgo gli assi: xx verso est, yy verso nord. Scrivo le componenti dei due vettori: v⃗b=(4,0; 0) m/s\vec{v}_b = (4{,}0;\ 0)\ \text{m/s} e v⃗c=(0; 3,0) m/s\vec{v}_c = (0;\ 3{,}0)\ \text{m/s}.
  2. Sommo le componenti omologhe: vx=4,0+0=4,0 m/sv_x = 4{,}0 + 0 = 4{,}0\ \text{m/s} e vy=0+3,0=3,0 m/sv_y = 0 + 3{,}0 = 3{,}0\ \text{m/s}.
  3. Calcolo il modulo con il teorema di Pitagora: v=vx2+vy2=(4,0)2+(3,0)2=16+9=25=5,0 m/sv = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(4{,}0)^2 + (3{,}0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5{,}0\ \text{m/s}.
  4. Calcolo la direzione rispetto all'est: θ=arctan⁡ ⁣(vyvx)=arctan⁡ ⁣(3,04,0)=arctan⁡(0,75)≈37∘\theta = \arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right) = \arctan\!\left(\dfrac{3{,}0}{4{,}0}\right) = \arctan(0{,}75) \approx 37^\circ verso nord.

Risultato La velocità risultante ha modulo v=5,0 m/sv = 5{,}0\ \text{m/s} ed è diretta a circa 37∘37^\circ a nord rispetto all'est.

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di grandezze e vettori è divisa in 3 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

  1. Scalari e vettori
  2. Componenti e modulo
  3. Somma e differenza

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