Gravitazione universale: spiegazione, formule ed esempio svolto

Prima di capire perche i pianeti orbitano, qualcuno ha osservato come lo fanno: e stato Keplero, studiando per anni le misure del cielo. La sua prima legge dice che ogni pianeta percorre un'orbita ellittica (un cerchio un po' schiacciato) con il Sole in uno dei due fuochi, non al centro. La seconda legge dice che il pianeta va piu veloce quando e vicino al Sole e piu lento quando e lontano, in modo che il segmento Sole-pianeta spazzi sempre aree uguali in tempi uguali. La terza legge collega il periodo $T$ (il tempo di un giro) alla distanza media $r$ con la relazione $T^2 \propto r^3$: piu un pianeta e lontano, molto piu lungo e il suo anno. Queste leggi descrivono il moto in modo preciso, ma da sole non spiegano la causa.

Newton ebbe l'intuizione geniale che la stessa forza che fa cadere una mela attira anche la Luna verso la Terra e i pianeti verso il Sole: una sola legge universale, valida in cielo come in terra. Due corpi qualsiasi con massa si attraggono con una forza data da $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$, dove $m_1$ e $m_2$ sono le masse, $r$ la loro distanza e $G$ la costante di gravitazione universale ($G \approx 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$). Il punto chiave e che la forza cresce con le masse ma diminuisce con il quadrato della distanza: se raddoppi la distanza, l'attrazione diventa quattro volte piu debole (vedi: proporzioni). Da questa unica legge si riescono a ricavare matematicamente tutte e tre le leggi di Keplero, ed e per questo che fu una rivoluzione.

Invece di pensare che la Terra tiri direttamente un oggetto a distanza, e piu utile immaginare che ogni massa modifichi lo spazio intorno a se creando un campo gravitazionale: una sorta di alone invisibile che dice a ogni altra massa quanta forza subira e in che direzione. Il campo si misura con l'intensita $g = \dfrac{F}{m}$, cioe la forza per unita di massa, che vicino alla superficie terrestre vale circa $g \approx 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. Il bello e che questo $g$ non dipende dall'oggetto che metti dentro il campo: una piuma e un sasso (senza aria) cadono con la stessa accelerazione, perche il campo agisce allo stesso modo su ogni massa. Puoi immaginare il campo come la pendenza di una superficie: piu sei vicino al corpo che la genera, piu la "discesa" e ripida e piu forte sei spinto verso di esso.

Un satellite in orbita non e tenuto su da nessun motore: sta in realta cadendo continuamente verso la Terra, ma va cosi veloce in avanti che la Terra gli "scappa via" curvando sotto di lui, e cosi non la raggiunge mai. La gravita qui fa da forza centripeta, quella che lo costringe a curvare invece di filare dritto; uguagliando l'attrazione di Newton alla forza necessaria per la circonferenza si ricava la velocita orbitale $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$, dove $M$ e la massa del pianeta e $r$ il raggio dell'orbita. Questa formula dice una cosa interessante: piu un'orbita e bassa, piu il satellite deve andare veloce, mentre quelli lontani viaggiano piu lenti (in pieno accordo con la terza legge di Keplero). E lo stesso identico motivo per cui gli astronauti sulla Stazione Spaziale fluttuano: non sono fuori dalla gravita, stanno cadendo insieme alla loro navicella.