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Fisica · 3ª superiore

Moto del proiettile: spiegazione, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di moto del proiettile con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

La spiegazione

Indipendenza dei moti

Un proiettile fa due moti insieme, senza che uno disturbi l'altro (principio di indipendenza): in orizzontale un moto uniforme x=v0x tx=v_{0x}\,t, in verticale un moto uniformemente accelerato y=v0y t−12g t2y=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}. La velocità iniziale si scompone: v0x=v0cos⁡θv_{0x}=v_0\cos\theta, v0y=v0sin⁡θv_{0y}=v_0\sin\theta. (vedi: seno e coseno)

La traiettoria è una parabola

Combinando i due moti, la traiettoria nel piano è una parabola. La componente orizzontale vxv_x resta costante; quella verticale vyv_y cambia per la gravità (si annulla nel punto più alto). La gittata e la quota massima dipendono dal modulo v0v_0 e dall'angolo di lancio (a parità di v0v_0, la gittata è massima a 45°45°).

Le formule che servono

Posizione orizzontale
x(t)=v0x t=v0cos⁡θ⋅tx(t) = v_{0x}\, t = v_0 \cos\theta \cdot t
Posizione verticale
y(t)=v0y t−12gt2=v0sin⁡θ⋅t−12gt2y(t) = v_{0y}\, t - \tfrac{1}{2} g t^2 = v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2
Componenti della velocità
vx=v0cos⁡θ,vy=v0sin⁡θ−gtv_x = v_0 \cos\theta, \qquad v_y = v_0 \sin\theta - g t
Equazione della traiettoria
y=xtan⁡θ−g2v02cos⁡2θ x2y = x\tan\theta - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta}\, x^2
Tempo di volo (stesso livello)
tv=2v0sin⁡θgt_v = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}
Altezza massima
hmax=v02sin⁡2θ2gh_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}
Gittata (stesso livello)
G=v02sin⁡(2θ)gG = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
Modulo della velocità
v=vx2+vy2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Un esempio svolto

Esercizio Un pallone viene calciato dal suolo con velocità iniziale v0=20 m/sv_0 = 20\ \text{m/s} inclinata di θ=30∘\theta = 30^\circ rispetto all'orizzontale. Trascurando l'attrito dell'aria e usando g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2, calcola il tempo di volo, l'altezza massima e la gittata.

  1. Scompongo la velocità iniziale: v0x=v0cos⁡30∘=20⋅0.866=17.3 m/sv_{0x} = v_0\cos 30^\circ = 20 \cdot 0.866 = 17.3\ \text{m/s} e v0y=v0sin⁡30∘=20⋅0.5=10 m/sv_{0y} = v_0\sin 30^\circ = 20 \cdot 0.5 = 10\ \text{m/s}.
  2. Tempo di volo (il pallone torna al suolo): tv=2v0yg=2⋅109.8=2.04 st_v = \dfrac{2 v_{0y}}{g} = \dfrac{2 \cdot 10}{9.8} = 2.04\ \text{s}.
  3. Altezza massima: hmax=v0y22g=1022⋅9.8=10019.6=5.10 mh_{max} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} = \dfrac{10^2}{2 \cdot 9.8} = \dfrac{100}{19.6} = 5.10\ \text{m}.
  4. Gittata: G=v0x⋅tv=17.3⋅2.04=35.3 mG = v_{0x}\cdot t_v = 17.3 \cdot 2.04 = 35.3\ \text{m} (verifica con G=v02sin⁡(2θ)g=400⋅0.8669.8≈35.3 mG = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} = \dfrac{400 \cdot 0.866}{9.8} \approx 35.3\ \text{m}).

Risultato Tempo di volo tv≈2.04 st_v \approx 2.04\ \text{s}; altezza massima hmax≈5.10 mh_{max} \approx 5.10\ \text{m}; gittata G≈35.3 mG \approx 35.3\ \text{m}.

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di moto del proiettile è divisa in 2 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

  1. Indipendenza dei moti
  2. La traiettoria è una parabola

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