Matematica · 3ª superiore

Parabola: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di parabola con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

La parabola come luogo

Prima di scrivere una sola formula, fermiamoci a guardare la parabola con gli occhi della geometria. Non è nata come un'equazione: è nata come una forma, una curva con una proprietà di equilibrio molto precisa. Capire quella proprietà significa capire davvero che cos'è una parabola.

Immagina di fissare sul piano un punto, che chiamiamo $fuoco$ e indichiamo con $F$ , e una retta, che chiamiamo $direttrice$ e indichiamo con $d$ . Il fuoco non sta sulla direttrice: c'è una certa distanza fra i due.

Ora poniamoci una domanda semplice ma profonda: quali sono i punti del piano che si trovano alla stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice?

Un punto $P$ qualunque ha due distanze: la sua distanza da $F$ (un segmento, $\overline{PF}$ ) e la sua distanza dalla retta $d$ (misurata, come sempre, lungo la perpendicolare, $\overline{PH}$ ). In generale queste due distanze sono diverse. Ma esistono punti speciali in cui esse coincidono perfettamente. L'insieme di tutti e soli questi punti è la parabola.

Questa è la definizione come luogo geometrico: un luogo è proprio l'insieme dei punti che soddisfano una certa condizione, né uno di più né uno di meno. Qui la condizione è l'equidistanza.

Da questa unica idea discende tutto. Il punto della parabola più vicino alla direttrice e contemporaneamente più vicino al fuoco è il $vertice$ : si trova esattamente a metà strada fra $F$ e $d$ , sul segmento perpendicolare che li congiunge. La retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice è l' $asse$ di simmetria: la parabola si specchia su quell'asse, perché la condizione di equidistanza non distingue fra destra e sinistra rispetto ad esso.

Vale la pena notare perché la curva ha proprio quella forma aperta che conosciamo. Vicino al vertice fuoco e direttrice sono entrambi vicini, e i punti equidistanti stanno lì raccolti. Man mano che ci allontaniamo, per restare equidistanti i punti devono divaricarsi sempre di più: la curva si apre senza mai chiudersi e senza mai raddrizzarsi del tutto. Non è un caso né una scelta arbitraria: è la conseguenza diretta dell'equilibrio fra un punto e una retta.

Le formule che servono

Parabola asse verticale

y = ax^2 + bx + c

Vertice

V\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)

Asse di simmetria

x = -\dfrac{b}{2a}

Fuoco

F\left(-\dfrac{b}{2a},\ \dfrac{1-\Delta}{4a}\right)

Direttrice

y = -\dfrac{1+\Delta}{4a}

Discriminante

\Delta = b^2 - 4ac

Forma canonica (vertice)

y = a(x - x_V)^2 + y_V

Parabola asse orizzontale

x = ay^2 + by + c

Un esempio svolto

Esercizio Data la parabola di equazione $y = x^2 - 4x + 3$ , determinare vertice, asse di simmetria, fuoco e direttrice.

Identifico i coefficienti: $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$ . Calcolo il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 3 = 16 - 12 = 4$ .
Ascissa del vertice (e asse di simmetria): $x_V = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2\cdot 1} = 2$ .
Ordinata del vertice: $y_V = -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{4}{4\cdot 1} = -1$ . Quindi $V(2,\,-1)$ .
Fuoco: $F\left(-\dfrac{b}{2a},\ \dfrac{1-\Delta}{4a}\right) = \left(2,\ \dfrac{1-4}{4}\right) = \left(2,\ -\dfrac{3}{4}\right)$ .
Direttrice: $y = -\dfrac{1+\Delta}{4a} = -\dfrac{1+4}{4} = -\dfrac{5}{4}$ .

Risultato Vertice $V(2,\,-1)$ , asse di simmetria $x = 2$ , fuoco $F\left(2,\,-\dfrac{3}{4}\right)$ , direttrice $y = -\dfrac{5}{4}$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che il fuoco appartenga alla parabola: il fuoco è interno alla curva, non vi giace.
Scambiare il ruolo di $a$ e $c$ : $a$ governa concavità e apertura, mentre $c$ dice soltanto a quale altezza la curva incontra l'asse $y$ .
Pensare che i punti comuni dipendano dal segno di $a$ della parabola: ciò che li conta è il discriminante dell'equazione che mescola parabola e retta, non quello della parabola da sola.
Dimenticare il capovolgimento dei ruoli: in questo problema $a$ , $b$ , $c$ non sono dati come prima, ma sono le incognite da determinare; $x$ e $y$ tornano a essere punti generici.
Credere che la freccia $h$ si misuri perpendicolarmente alla corda. In realtà si misura parallelamente all'asse, cioè in verticale.
Pensare che la distanza dalla direttrice si misuri in modo obliquo: la distanza di un punto da una retta è, per definizione, quella misurata lungo la perpendicolare.
Credere che $x_V=-\frac{b}{2a}$ sia solo un'etichetta per il vertice: è anzitutto la posizione dell'asse di simmetria, e il vertice sta lì proprio perché è il punto in cui la curva si specchia su se stessa.
Leggere $\Delta=0$ come 'nessun punto in comune': al contrario, $\Delta=0$ significa esattamente un punto in comune, cioè tangenza; è $\Delta<0$ a corrispondere all'assenza di intersezioni.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di parabola è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

La parabola come luogoLa parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, il $fuoco$ , e da una retta fissa, la $direttrice$ . È un'idea puramente geometrica, che esiste prima e indipendentemente da qualunque equazione.
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