Matematica · 2ª superiore

Piano cartesiano e retta: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di piano cartesiano e retta con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Il piano cartesiano e le coordinate

Immagina di dover spiegare a un amico dove ti trovi in una città sconosciuta. Non basta dire "sono qui": servono due informazioni, per esempio la via e il numero civico. Il piano cartesiano fa esattamente questo con i punti.

L'idea geniale di Cartesio è semplice e rivoluzionaria: prendi due righelli infiniti, mettili perpendicolari e falli incrociare in un punto, l'origine $O$ . Uno orizzontale, l'asse delle ascisse (le $x$ ), uno verticale, l'asse delle ordinate (le $y$ ). Ciascun asse è orientato: ha un verso positivo, che stabilisce cosa significa "avanti" e "indietro", "su" e "giù". Da questo momento ogni punto del foglio smette di essere anonimo e acquista un indirizzo univoco: una coppia ordinata di numeri $(x,y)$ .

La parola ordinata è cruciale. La coppia $(3,5)$ non è la stessa cosa di $(5,3)$ : il primo numero dice sempre "quanto vai a destra o a sinistra", il secondo "quanto sali o scendi". Cambiare l'ordine significa, in generale, cambiare punto. È come per l'indirizzo: via e numero civico non si possono scambiare.

Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, e il segno delle coordinate ti dice subito in quale ti trovi: nel primo (in alto a destra) entrambe positive, poi girando in senso antiorario i segni cambiano — secondo $(-,+)$ , terzo $(-,-)$ , quarto $(+,-)$ . Ma la vera potenza è un'altra: ogni figura geometrica — una retta, una circonferenza, una parabola — diventa ora un'equazione, cioè una condizione che i numeri $x$ e $y$ devono rispettare. Questo è il cuore della geometria analitica: possiamo calcolare la geometria invece di soltanto disegnarla. Il foglio diventa un dizionario che traduce forme in formule e formule in forme.

Le formule che servono

Distanza tra due punti

\overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Punto medio di un segmento

M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)

Coefficiente angolare per due punti

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Equazione esplicita della retta

y=mx+q

Retta per un punto con pendenza nota

y-y_0=m(x-x_0)

Retta per due punti

\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}

Condizione di parallelismo

m_1=m_2

Condizione di perpendicolarita

m_1\cdot m_2=-1

Distanza punto-retta

d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Equazione implicita (generale)

ax+by+c=0

Un esempio svolto

Esercizio Sono dati i punti $A(-1, 2)$ e $B(3, 4)$ . Determina: la lunghezza del segmento $AB$ , le coordinate del punto medio $M$ di $AB$ , l'equazione della retta passante per $A$ e $B$ e l'equazione della retta perpendicolare ad $AB$ passante per $M$ .

Distanza $AB$ : $\overline{AB}=\sqrt{(3-(-1))^2+(4-2)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ .
Punto medio: $M\left(\dfrac{-1+3}{2},\,\dfrac{2+4}{2}\right)=M(1,\,3)$ .
Coefficiente angolare di $AB$ : $m=\dfrac{4-2}{3-(-1)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ .
Retta per $A$ e $B$ : uso $y-y_A=m(x-x_A)$ , cioe $y-2=\dfrac{1}{2}(x+1)$ , da cui $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$ .
Retta perpendicolare: coefficiente angolare $m'=-\dfrac{1}{m}=-2$ ; passa per $M(1,3)$ : $y-3=-2(x-1)$ , quindi $y=-2x+5$ .

Risultato $\overline{AB}=2\sqrt{5}$ ; $M(1,3)$ ; retta $AB$ : $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$ ; perpendicolare per $M$ : $y=-2x+5$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Scambiare ascissa e ordinata: $(4,1)$ e $(1,4)$ sono due punti diversi, non lo stesso.
Nella distanza dimenticare la radice e fermarsi alla somma dei quadrati: quello è il quadrato della distanza, non la distanza.
Pensare che l'equazione descriva un singolo punto: descrive infiniti punti, tutti quelli allineati.
Calcolare $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ invece di $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ : la pendenza è "salita diviso avanzamento", non il contrario.
Per la perpendicolarità cambiare solo il segno ( $-2$ ) o solo il reciproco ( $\frac{1}{2}$ ): servono entrambe le cose, il segno E il reciproco.
Confondere l'origine $(0,0)$ con un punto "che non esiste": è un punto a pieno titolo, solo con entrambe le coordinate nulle.
Sottrarre le coordinate "a incrocio" (come $x_B-y_A$ ): vanno confrontate ascisse con ascisse e ordinate con ordinate.
Dimenticare che le rette verticali (tipo $x=3$ ) non si scrivono nella forma $y=mx+q$ : solo la forma implicita le include.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di piano cartesiano e retta è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Il piano cartesiano e le coordinateDue rette orientate perpendicolari trasformano il foglio in una mappa: ogni punto ha un indirizzo, la coppia ordinata $(x,y)$ . È il ponte tra geometria e algebra.
Distanza tra due punti e punto medioSe due punti hanno un indirizzo fatto di numeri, allora anche la distanza tra loro deve poter uscire da quei numeri. E infatti esce — grazie a un vecchio amico della geometria: Pitagora.
L'equazione della rettaCosa hanno in comune tutti i punti allineati su una stessa retta? Non l'aspetto: le loro coordinate. Esiste una relazione che vale per tutti i punti della retta e per nessun altro. Quella relazione È la retta.
Coefficiente angolare e significatoSali una scala ripida e una in dolce pendenza: la differenza è un numero. Quello stesso numero, in matematica, distingue una retta che schizza verso l'alto da una quasi piatta. Si chiama coefficiente angolare.
Parallelismo e perpendicolaritàDue binari del treno non si incontrano mai: hanno la stessa direzione. Un incrocio ad angolo retto, invece, mette insieme due direzioni "opposte" in un senso preciso. Sorprendentemente, entrambe le situazioni si riconoscono guardando solo i numeri $m$ .

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