Matematica · 3ª superiore

Retta: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di retta con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Il piano cartesiano e i punti

Prima ancora di parlare di rette, dobbiamo capire una rivoluzione silenziosa: l'idea di dare un indirizzo numerico a ogni punto del piano. È questa l'intuizione di Cartesio, ed è il ponte che collega la geometria all'algebra.

Immagina un foglio liscio e infinito. Su di esso un punto non ha nome: per individuarlo dovremmo indicarlo con un dito. Cartesio ha avuto un'idea potente: fissare due rette orientate perpendicolari, gli assi, e usarle come un sistema di riferimento.

Da quel momento ogni punto ha un suo indirizzo: una coppia ordinata di numeri $(x;y)$ . La prima coordinata, l'ascissa, dice quanto ci spostiamo in orizzontale; la seconda, l'ordinata, quanto in verticale. Il punto $O=(0;0)$ , dove gli assi si incontrano, è l'origine.

Il fatto che la coppia sia ordinata è cruciale: $(2;3)$ e $(3;2)$ sono punti diversi. La geometria, che parlava di posizioni, diventa così aritmetica di coppie.

Una volta numerati i punti, possiamo misurare. Quanto distano due punti $A$ e $B$ ? Se costruiamo il triangolo rettangolo che li ha come estremi dell'ipotenusa, i cateti sono semplicemente le differenze delle coordinate: $|x_B-x_A|$ in orizzontale e $|y_B-y_A|$ in verticale. Il teorema di Pitagora fa il resto. Ecco perché la formula della distanza non è una regola da memorizzare a freddo: è Pitagora travestito da algebra.

Il punto medio di un segmento risponde invece a un'altra domanda: dov'è il punto esattamente a metà? La risposta è intuitiva: la sua ascissa è la media delle ascisse, la sua ordinata la media delle ordinate. Stare a metà significa, coordinata per coordinata, stare in mezzo.

Il messaggio profondo di questa sezione è uno solo: disegnare e calcolare diventano la stessa cosa. Ogni domanda geometrica (è più vicino? è a metà? sono allineati?) può essere riformulata come domanda sui numeri.

Le formule che servono

Equazione esplicita

y = mx + q

Equazione implicita

ax + by + c = 0

Coefficiente angolare per due punti

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Retta per un punto con m noto

y - y_0 = m(x - x_0)

Retta per due punti

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

Condizione di parallelismo

m_1 = m_2

Condizione di perpendicolarità

m_1 \cdot m_2 = -1

Distanza punto-retta

d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Coefficiente angolare da implicita

m = -\frac{a}{b}

Punto medio di un segmento

M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Un esempio svolto

Esercizio Determina l'equazione della retta passante per i punti $A(1, 2)$ e $B(3, 8)$ . Trova poi l'equazione della retta perpendicolare ad essa passante per il punto $A$ .

Calcolo il coefficiente angolare con la formula della retta per due punti: $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$ .
Uso l'equazione della retta per un punto con coefficiente angolare noto, scegliendo $A(1,2)$ : $y - 2 = 3(x - 1)$ .
Sviluppo i calcoli: $y - 2 = 3x - 3$ , da cui $y = 3x - 1$ . Questa è la retta per $A$ e $B$ .
Il coefficiente angolare della perpendicolare è l'antireciproco: $m' = -\dfrac{1}{m} = -\dfrac{1}{3}$ .
Impongo il passaggio per $A(1,2)$ : $y - 2 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$ , cioè $y - 2 = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}$ .
Ordino: $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$ . Verifica: $m \cdot m' = 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$ , condizione di perpendicolarità soddisfatta.

Risultato La retta per $A$ e $B$ è $y = 3x - 1$ ; la perpendicolare per $A$ è $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere l'ordine delle coordinate: $(x;y)$ non è $(y;x)$ . L'ascissa viene sempre prima.
Credere che $m$ sia 'l'inclinazione in gradi': $m$ è un rapporto $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , non un angolo. È la tangente dell'angolo, non l'angolo stesso.
Per le perpendicolari ricordare entrambi i cambi: reciproco e segno opposto. Solo invertire o solo cambiare segno è sbagliato.
Misurare la distanza punto-retta 'a occhio' in obliquo: conta solo il segmento perpendicolare, l'unico che dà il minimo.
Nel punto medio si fa la somma diviso 2, non la differenza: si cerca il valore centrale, cioè la media.
Dimenticare la retta verticale: $x=k$ non ha la forma $y=mx+q$ e non ha coefficiente angolare definito.
Rette parallele non sono 'rette uguali': hanno lo stesso $m$ ma $q$ diverso. Se anche $q$ coincide, sono la stessa retta (coincidenti).
Dimenticare il valore assoluto nella distanza: una lunghezza non è mai negativa.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di retta è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Il piano cartesiano e i puntiIl piano cartesiano traduce la posizione in numeri: ogni punto è una coppia $(x;y)$ . Da qui nascono distanza e punto medio, calcolati con il teorema di Pitagora e con la media.
L'equazione della rettaAbbiamo dato un indirizzo a ogni punto. Ora facciamo il passo decisivo: descrivere un'intera figura, la retta, con una sola equazione. L'idea chiave è quella di luogo geometrico.
Parallelismo e perpendicolaritàOra che ogni retta ha il suo $m$ , possiamo confrontarle. La domanda 'come stanno tra loro due rette?' diventa una domanda sui loro coefficienti angolari. È qui che l'algebra ripaga l'investimento.
Distanza e intersezioniChiudiamo il cerchio rispondendo a due domande naturali: quanto è lontano un punto da una retta? E dove si incontrano due rette? Entrambe hanno una risposta che intreccia geometria e algebra.

Argomenti collegati

Prima di questo

Mat 2ªPiano cartesiano e retta Mat 3ªFunzioni

Dopo, prosegui con

Mat 3ªParabola Mat 3ªCirconferenza

Stesso anno

Mat 3ªEquazioni di grado superiore Mat 3ªDisequazioni avanzate Mat 3ªEllisse Mat 3ªIperbole

Tutti i 70 argomenti di matematica e fisica →

Ora prova tu.

Un esercizio vero di retta, corretto un passo alla volta.

Fai un esercizio di retta con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.