Matematica · 3ª superiore

Circonferenza: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di circonferenza con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

La circonferenza come luogo

Prima di scrivere qualsiasi equazione, dobbiamo capire che cosa sia una circonferenza dal punto di vista geometrico. E la risposta non parla di $x$ e di $y$ : parla di distanze.

Immagina di piantare un chiodo in un punto del piano e di legarci uno spago di lunghezza fissata. Se tieni lo spago teso e fai girare la matita, la curva che disegni è una circonferenza.

Questa immagine contiene già tutta la sostanza. Il chiodo è il centro $C$ ; la lunghezza dello spago è il raggio $r$ ; e la circonferenza è l'insieme di tutti e soli i punti che si trovano a distanza $r$ dal centro.

In linguaggio matematico diciamo che la circonferenza è un luogo geometrico: un insieme di punti accomunati da una stessa proprietà, qui l'equidistanza da $C$ .

\text{circonferenza} = \{\, P \,:\, \overline{PC} = r \,\}

Vale la pena soffermarsi sul «tutti e soli», perché è il cuore dell'idea di luogo. "Tutti" significa che ogni punto a distanza $r$ dal centro appartiene davvero alla curva: non ne manca nessuno. "Soli" significa che non c'è nessun altro punto: chi sta più vicino del raggio è dentro (nel cerchio), chi sta più lontano è fuori. La circonferenza è esattamente il confine fra queste due regioni.

È importante non confondere due parole che il linguaggio comune usa come sinonimi. La circonferenza è solo la linea, il bordo; il cerchio è la parte di piano racchiusa, bordo compreso. In geometria analitica un'equazione come quella che vedremo descrive la linea; per il cerchio si usa invece una disequazione.

Perché partire da qui e non dalla formula? Perché ogni proprietà algebrica che incontreremo sarà solo la traduzione di questa unica idea geometrica. Il raggio costante, il centro come punto privilegiato, la simmetria perfetta in ogni direzione: tutto discende dall'equidistanza. Tenere a mente lo spago teso ci salverà ogni volta che una formula sembrerà arbitraria.

Le formule che servono

Equazione in forma canonica

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Centro della circonferenza

C\left(-\frac{a}{2},\, -\frac{b}{2}\right)

Raggio dalla forma canonica

r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}

Equazione dati centro e raggio

(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2

Condizione di esistenza

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - c > 0

Coefficienti da centro e raggio

a = -2x_C,\quad b = -2y_C,\quad c = x_C^2 + y_C^2 - r^2

Raggio come distanza centro-punto

r = \sqrt{(x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2}

Posizione retta-circonferenza

d(C, s) \lessgtr r \quad (s = \text{retta},\ r = \text{raggio})

Un esempio svolto

Esercizio Scrivi l'equazione della circonferenza di centro $C(2, -1)$ e raggio $r = 3$ , poi portala in forma canonica e verifica centro e raggio.

Parto dalla forma $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2$ . Sostituisco $x_C = 2$ , $y_C = -1$ , $r = 3$ : $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$ .
Sviluppo i quadrati: $x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 9$ .
Porto tutto a primo membro e sommo i termini noti $4 + 1 - 9 = -4$ : ottengo $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ .
Identifico i coefficienti: $a = -4$ , $b = 2$ , $c = -4$ . Il centro è $C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right) = C(2, -1)$ , coerente.
Calcolo il raggio: $r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - c} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ , coerente con i dati.

Risultato L'equazione in forma canonica è $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ , con centro $C(2, -1)$ e raggio $r = 3$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere circonferenza (la linea) con cerchio (la regione piena): la prima è descritta da un'equazione, il secondo da una disequazione.
Credere che curve diverse si nascondano dietro coefficienti diversi di $x^2$ e $y^2$ : ciò che identifica una circonferenza è la loro uguaglianza, non il valore. Un'equazione con coefficiente $2$ davanti a entrambi è la stessa curva in scala, non una curva nuova.
Leggere la distanza $d=r$ come un "toccare quasi": la tangenza è una condizione esatta, il caso-limite in cui la retta e la curva hanno un unico punto in comune, non un avvicinamento approssimato.
Pensare che da un punto interno "si possa comunque trovare una tangente con un po' di pazienza": l'assenza di tangenti non è un fallimento del calcolo, ma un fatto geometrico, perché ogni retta per un punto interno taglia la curva in due punti.
Pensare che il centro appartenga alla curva: il centro è equidistante da tutti i punti della circonferenza, ma non vi appartiene (a meno che, assurdamente, $r=0$ ).
Pensare che il termine noto $c$ "sia" il raggio: $c$ entra nella combinazione $r^2=\alpha^2+\beta^2-c$ , dunque mescola il proprio valore con la posizione del centro; il raggio è una quantità derivata, non letta direttamente.
Interpretare $\Delta=0$ come "nessuna soluzione": al contrario, segnala una soluzione doppia, cioè i due punti d'incontro che, nel passaggio alla tangenza, sono andati a coincidere.
Credere che le due tangenti da un punto esterno siano una scelta arbitraria: sono esattamente due per simmetria rispetto alla retta punto-centro, né più né meno.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di circonferenza è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

La circonferenza come luogoLa circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, il centro. Quella distanza costante è il raggio $r$ .
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