Matematica · 3ª superiore

Funzioni: spiegazione, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di funzioni con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Che cos'è una funzione

Prima di ogni formula, fermiamoci a capire l'idea. Una funzione non è un calcolo: è una relazione ordinata tra due insiemi. Pensala come una macchina che riceve un ingresso e restituisce un'uscita, sempre la stessa per quell'ingresso.

Immagina una macchinetta: ci metti dentro un numero $x$ e ne esce un numero $y$ . La regola che governa questa macchina è la funzione.

La parola chiave dell'intera definizione è una sola: univocità. A ogni ingresso deve corrispondere un solo risultato. Se per lo stesso $x$ potessero uscire due valori diversi, la macchina sarebbe imprevedibile e non avremmo una funzione.

Servono allora tre insiemi che danno i nomi alle cose.

Il dominio $A$ è l'insieme di tutti gli ingressi ammessi: i numeri che la macchina sa lavorare senza incepparsi.

Il codominio $B$ è l'insieme in cui vivono le possibili uscite: l'ambiente di arrivo, deciso a priori.

L'immagine è invece l'insieme delle uscite che escono davvero. Attenzione: l'immagine è contenuta nel codominio, ma non sempre lo riempie tutto. Il codominio è la stanza; l'immagine è la parte di stanza realmente occupata.

La scrittura $f:A\to B$ è una carta d'identità: dice da dove si parte e dove si arriva. La scrittura $y=f(x)$ racconta invece la legge che trasforma $x$ in $y$ .

Infine il grafico. Ogni coppia ingresso-uscita $(x,\,f(x))$ diventa un punto del piano. L'insieme di tutti questi punti disegna la funzione. Ecco perché un disegno vale più di mille tabelle: il grafico è la funzione resa visibile. E c'è un controllo elegante, il test della retta verticale: se una retta verticale incontra il disegno in più di un punto, quella non è una funzione, perché a uno stesso $x$ corrisponderebbero più $y$ .

Le formule che servono

Definizione di funzione

f:A\to B,\quad x\mapsto y=f(x)

Dominio di un fratto

f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}\ \Rightarrow\ D(x)\neq 0

Dominio di un radicale (indice pari)

f(x)=\sqrt[2n]{R(x)}\ \Rightarrow\ R(x)\ge 0

Dominio del logaritmo

f(x)=\log_a A(x)\ \Rightarrow\ A(x)>0

Funzione pari

f(-x)=f(x)\quad\forall x\in D

Funzione dispari

f(-x)=-f(x)\quad\forall x\in D

Funzione composta

(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)

Funzione inversa

f^{-1}\big(f(x)\big)=x,\quad f\big(f^{-1}(y)\big)=y

Intersezioni con gli assi

\text{asse } y:\ (0,f(0));\quad \text{asse } x:\ f(x)=0

Studio del segno

f(x)>0\ \text{(sopra l'asse } x)\ ,\quad f(x)<0\ \text{(sotto)}

Un esempio svolto

Esercizio Determina il dominio della funzione $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-3}$ e stabilisci dove la funzione si annulla.

La funzione contiene una radice di indice pari: l'argomento deve essere non negativo, quindi impongo $x+2\ge 0$ , cioe $x\ge -2$ .
La funzione e anche fratta: il denominatore deve essere diverso da zero, quindi $x-3\neq 0$ , cioe $x\neq 3$ .
Metto a sistema le due condizioni: $x\ge -2$ e $x\neq 3$ . Il dominio e $D=[-2,3)\cup(3,+\infty)$ .
Per gli zeri impongo $f(x)=0$ : una frazione e nulla quando il numeratore e nullo (e il denominatore no). Quindi $\sqrt{x+2}=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$ .
Verifico che $x=-2$ appartenga al dominio: $-2\in[-2,3)$ , quindi e accettabile e in quel punto il denominatore vale $-2-3=-5\neq 0$ .

Risultato Dominio $D=[-2,3)\cup(3,+\infty)$ ; la funzione si annulla in $x=-2$ , cioe nel punto $(-2,\,0)$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere codominio e immagine: il primo è l'ambiente di arrivo deciso a priori, la seconda è l'insieme dei valori effettivamente raggiunti.
Credere che una funzione debba essere o pari o dispari: la maggior parte non è né l'una né l'altra (es. $f(x)=x^2+x$ ).
Invertire l'ordine di esecuzione: in $g(f(x))$ si esegue prima $f$ , non $g$ , nonostante l'ordine di lettura.
L'inganno del segno: $f(x-h)$ trasla verso destra (e $f(x+h)$ verso sinistra), il contrario di ciò che il segno suggerisce.
Usare il modello fuori dal suo intervallo di validità: prolungare la retta della popolazione per dieci anni, o chiedere alla parabola del consumo quanto si spende a $v=0$ . La formula risponde sempre, anche quando la risposta non significa nulla.
Credere che valori diversi di $x$ debbano dare valori diversi di $y$ : è falso, due ingressi possono condividere la stessa uscita (sarà l'iniettività a vietarlo, non la definizione di funzione).
Confondere iniettiva (orizzontali al più una volta) con il fatto di essere una funzione (verticali al più una volta): sono test diversi.
Calcolare il dominio della composta guardando solo la formula finale, dimenticando il vincolo $x\in\text{dom}(f)$ .

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di funzioni è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Che cos'è una funzioneUna funzione è una legge che a ogni elemento di un insieme di partenza associa uno e un solo elemento di un insieme di arrivo. Si scrive $f:A\to B$ e $y=f(x)$ .
Le proprietà di una funzioneUna volta capito cos'è una funzione, ci chiediamo com'è fatta. Le proprietà sono come gli aggettivi che ne descrivono il carattere: ci dicono se è equilibrata, simmetrica, se sale o scende, se si ripete.
Funzione composta e inversaFinora abbiamo trattato una funzione alla volta. Ora le facciamo dialogare: cosa succede se incateniamo due macchine, e cosa significa farne girare una all'indietro.
Trasformazioni dei graficiQuesta è una delle idee più potenti e economiche dello studio delle funzioni: invece di disegnare tutto da capo, partiamo da una forma che conosciamo e la manipoliamo. Un solo grafico noto diventa una famiglia intera.
Che cos'è un modello matematicoIl gestore di un parcheggio ti chiede quanto incasserà domani; un biologo vuole sapere quanti pesci ci saranno nel laghetto fra tre anni; un autotrasportatore vuole scegliere la velocità che gli fa spendere meno. Nessuna di queste domande ha una formula già pronta ad aspettarla. In tutti e tre i casi devi costruire tu una funzione che sostituisca il fenomeno abbastanza bene da poterci ragionare sopra. Questo è un modello matematico: e la parte difficile non è il calcolo, è decidere che cosa buttare via.

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