Esponenziali e logaritmi: come si fa, formule ed esempio svolto

Tutto comincia da un'idea che conosci già dalle scuole medie: elevare un numero a una potenza. Ma finora l'esponente era sempre un numero intero, al massimo una frazione. La domanda profonda, quella da cui nasce questo intero capitolo, è un'altra: e se l'esponente potesse essere qualunque numero reale?

Quando scrivi $2^3$ stai dicendo "moltiplica 2 per se stesso 3 volte". Questa lettura, però, funziona solo finché l'esponente è un intero positivo: non ha alcun senso letterale moltiplicare un numero "$\sqrt{2}$ volte" o "$-1{,}7$ volte". Eppure i matematici hanno trovato il modo di dare un significato anche a $2^{\sqrt{2}}$.

Il percorso è graduale e ogni passo nasce dall'esigenza di non perdere le regole che già funzionano. Dagli interi positivi si passa allo zero ponendo $a^0=1$, perché è l'unico valore che mantiene coerente la regola $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Poi si arriva agli esponenti negativi con $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, e a quelli razionali con $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, dove la radice entra in gioco proprio per rispettare la regola sulla potenza di potenza.

Resta l'ultimo salto, il più delicato: gli esponenti irrazionali. Qui l'idea è bellissima nella sua semplicità. Per definire $2^{\sqrt{2}}$ guardiamo le potenze con esponenti razionali sempre più vicini a $\sqrt{2}$ ($2^{1{,}4}$, $2^{1{,}41}$, $2^{1{,}414}$, ...): questi valori si "stringono" attorno a un unico numero, e quel numero è, per definizione, $2^{\sqrt{2}}$.

A questo punto possiamo finalmente liberare l'esponente e farlo diventare una variabile. Nasce così la funzione esponenziale

Perché pretendiamo $a>0$? Perché se la base fosse negativa, già con esponenti come $\frac{1}{2}$ cadremmo dentro radici quadrate di numeri negativi, e la funzione si "bucherebbe" in infiniti punti, perdendo ogni regolarità. Con $a>0$, invece, otteniamo una curva continua e liscia, definita per ogni $x$ reale.

Da questa scelta discende il fatto più importante di tutti: l'esponenziale è sempre positiva, $a^x > 0$ per ogni $x$. Una potenza a base positiva non può mai dare zero né un numero negativo. Il valore può diventare piccolissimo, avvicinarsi a zero quanto vuoi, ma non lo tocca mai. Questo è il marchio di fabbrica dell'esponenziale.

Il secondo fatto riguarda il carattere della crescita, e dipende tutto dalla base. Se $a>1$, moltiplicare ripetutamente per $a$ fa ingrandire: la funzione è crescente, e cresce in modo travolgente. Se invece $0<a<1$, ogni passo riduce il valore: la funzione è decrescente e tende dolcemente a zero. Il caso $a=1$ si esclude perché $1^x=1$ sempre: una retta orizzontale, niente di interessante.

Tra tutte le basi possibili, una occupa un posto speciale: il numero $e \approx 2{,}71828$, detto numero di Nepero. Non è una base scelta per comodità di calcolo, anzi: è un numero irrazionale, scomodissimo. È privilegiata perché è la base in cui l'esponenziale ha la crescita "più naturale" possibile, quella in cui la rapidità con cui la funzione cresce coincide in ogni punto con il valore della funzione stessa. Capirai a fondo questa magia studiando le derivate; per ora tienilo come il protagonista nascosto di tutto il capitolo.