Matematica · 4ª superiore

Calcolo combinatorio: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di calcolo combinatorio con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Il principio fondamentale del conteggio

Prima ancora di parlare di formule, fermiamoci su una domanda semplice e profonda: in quanti modi può accadere una cosa? Il calcolo combinatorio nasce per rispondere a questo, cioè per contare senza elencare. E tutto poggia su un'unica idea, talmente naturale che spesso la usiamo senza accorgercene.

Immagina di vestirti la mattina. Hai $3$ magliette e $2$ paia di pantaloni. Quanti completi diversi puoi formare? Potresti elencarli tutti, ma c'è un modo più rapido di ragionare: per ogni maglietta che scegli, hai poi $2$ possibilità di pantaloni. Quindi i completi sono $3$ gruppi da $2$ , cioè $3 \cdot 2 = 6$ .

Questo è il cuore del principio fondamentale del conteggio: quando una scelta complessiva si spezza in passi successivi e indipendenti, le possibilità totali sono il prodotto delle possibilità di ciascun passo.

Perché si moltiplica e non si somma? È la domanda giusta da farsi. Si somma quando le alternative sono in opposizione, cioè quando facciamo una cosa oppure l'altra: o prendo il treno o prendo l'autobus, le possibilità si aggiungono. Si moltiplica invece quando i passi si compongono, cioè quando facciamo una cosa e poi un'altra: scelgo la maglietta e scelgo i pantaloni. La parola spia è quella congiunzione: «e poi» fa moltiplicare, «oppure» fa sommare.

Un'immagine aiuta a vederlo: un diagramma ad albero. Dal punto di partenza si aprono $3$ rami (le magliette); da ciascuno di quei rami se ne aprono altri $2$ (i pantaloni). Le foglie finali dell'albero sono tutti gli esiti possibili, e contarle equivale a moltiplicare i rami livello per livello. L'albero rende visibile perché il prodotto funziona: ogni scelta del primo passo si ramifica in tutte le scelte del secondo.

C'è un dettaglio concettuale importante: i passi devono essere tali che il numero di possibilità del passo successivo non dipenda da quale esito sia uscito prima. Nel nostro esempio va bene: qualunque maglietta io scelga, ho sempre $2$ pantaloni. Se invece le possibilità cambiano da un ramo all'altro, l'albero ha rami di lunghezza diversa e il semplice prodotto non basta più.

Da questo principio, come vedremo, discende tutto il resto del calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni non sono altro che applicazioni raffinate di questa stessa idea di moltiplicare le scelte.

Le formule che servono

Principio fondamentale del conteggio

n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

Fattoriale

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1, \qquad 0! = 1

Permutazioni semplici

P_n = n!

Permutazioni con ripetizione

P_n^{(\alpha,\beta,\dots)} = \dfrac{n!}{\alpha!\,\beta!\cdots}

Disposizioni semplici

D_{n,k} = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)

Disposizioni con ripetizione

D'_{n,k} = n^k

Combinazioni semplici

C_{n,k} = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

Combinazioni con ripetizione

C'_{n,k} = \binom{n+k-1}{k}

Proprieta dei coefficienti binomiali

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, \qquad \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}

Teorema del binomio di Newton

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Un esempio svolto

Esercizio In una classe di $10$ studenti si vuole formare una commissione di $3$ persone con incarichi distinti: un presidente, un segretario e un tesoriere. Inoltre, in quanti modi si potrebbe formare una commissione di $3$ persone senza incarichi (tutti con lo stesso ruolo)?

Nel primo caso l'ordine conta, perche i tre ruoli sono diversi: scelgo $k=3$ persone tra $n=10$ in modo ordinato, quindi uso le disposizioni semplici $D_{10,3}$ .
Calcolo: $D_{10,3} = \dfrac{10!}{(10-3)!} = \dfrac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .
Nel secondo caso l'ordine NON conta, perche i tre membri hanno tutti lo stesso ruolo: uso le combinazioni semplici $C_{10,3}$ .
Calcolo: $C_{10,3} = \dbinom{10}{3} = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{720}{6} = 120$ .
Osservo che $C_{10,3} = \dfrac{D_{10,3}}{3!}$ : dividendo per $3! = 6$ elimino i diversi ordinamenti degli stessi $3$ studenti.

Risultato Con incarichi distinti ci sono $720$ commissioni possibili (disposizioni); senza incarichi ce ne sono $120$ (combinazioni).

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere «e poi» con «oppure»: il primo fa moltiplicare, il secondo fa sommare. È l'errore concettuale più frequente.
Non chiedersi se l'ordine conta: è la domanda da porsi sempre per prima, perché distingue disposizioni da combinazioni.
Usare le disposizioni dove andrebbero le combinazioni (e viceversa): si contano gli stessi raggruppamenti più volte, o si perdono.
Pensare che i coefficienti siano sempre $1$ : solo il primo e l'ultimo lo sono; in mezzo crescono e poi calano simmetricamente.
Applicare il prodotto quando le possibilità di un passo dipendono dall'esito del passo precedente: in quel caso i rami dell'albero non sono tutti uguali.
Dimenticare la differenza tra con e senza ripetizione: nel primo caso il serbatoio resta pieno ( $n^k$ ), nel secondo si svuota.
Imparare la formula $\binom{n}{k}$ a memoria senza capire che è «disposizioni diviso $k!$ »: è il legame che spiega tutto.
Sbagliare le potenze: ricorda che gli esponenti di $a$ e $b$ devono sommare a $n$ in ogni termine.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di calcolo combinatorio è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Il principio fondamentale del conteggioQuando una scelta si compone di più passi indipendenti, il numero totale di possibilità si ottiene moltiplicando il numero di esiti di ogni passo: se ho $m$ modi per il primo e $n$ per il secondo, in tutto sono $m \cdot n$ .
Disposizioni e permutazioniFacciamo un passo avanti. Finora abbiamo contato scelte generiche; ora introduciamo una domanda decisiva che divide in due tutto il calcolo combinatorio: l'ordine conta oppure no? In questa sezione affrontiamo il caso in cui l'ordine conta, e da qui nascono disposizioni e permutazioni.
Le combinazioniOra rovesciamo la domanda chiave della sezione precedente. E se l'ordine non contasse? Pensa a estrarre tre carte da un mazzo e tenerle in mano: l'ordine in cui le ho pescate è del tutto irrilevante, conta solo quali carte ho. Quando l'ordine sparisce, entriamo nel mondo delle combinazioni.
Il binomio di NewtonChiudiamo con una sorpresa che lega tutto. Sappiamo svolgere $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Ma cosa succede con $(a+b)^5$ o $(a+b)^{10}$ ? Non vorremo certo moltiplicare tutto a mano. La risposta — e il motivo per cui è così bella — chiama in causa esattamente le combinazioni appena viste.

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