Matematica · 1ª superiore

Insiemi e relazioni: spiegazione, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di insiemi e relazioni con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Insieme e appartenenza

Prima ancora dei numeri, la matematica ha bisogno di un'idea più semplice e più potente: quella di raggruppare le cose. Un insieme non è una lista ordinata né un sacco pieno di copie: è un modo di dire "consideriamo questi oggetti come una cosa sola".

Immagina di indicare gli alunni di una classe. Non ti importa in che ordine li chiami, né quante volte pronunci lo stesso nome: quello che conta è chi fa parte della classe e chi no. Questa è tutta l'essenza dell'insieme. Un insieme è determinato solo dai suoi elementi, e per ogni oggetto del mondo c'è una risposta netta, senza sfumature: o gli appartiene o non gli appartiene.

Questa relazione fondamentale si chiama appartenenza e si scrive $x\in A$ per dire " $x$ è un elemento di $A$ ", oppure $x\notin A$ per il contrario. È bene sentire fin da subito la differenza fra l'elemento e l'insieme: $3$ è un numero, mentre $\{3\}$ è l'insieme che contiene quel numero, cioè una scatola con dentro un oggetto. La scatola e il suo contenuto non sono la stessa cosa.

Proprio perché un insieme è deciso dai suoi elementi, ripetere un elemento o cambiarne l'ordine non produce insiemi diversi: $\{1,2,2,3\}$ e $\{3,1,2\}$ sono lo stesso insieme. Due insiemi sono uguali quando hanno esattamente gli stessi elementi, punto.

Esiste poi un insieme speciale, quello che non contiene nulla: l'insieme vuoto, scritto $\varnothing$ o $\{\}$ . Non è "il niente": è una collezione perfettamente legittima, solo priva di elementi. Serve come punto di partenza, un po' come lo zero serve tra i numeri.

Le formule che servono

Unione

A \cup B = \{x : x \in A \;\lor\; x \in B\}

Intersezione

A \cap B = \{x : x \in A \;\land\; x \in B\}

Differenza

A \setminus B = \{x : x \in A \;\land\; x \notin B\}

Complementare

\overline{A} = U \setminus A = \{x \in U : x \notin A\}

Leggi di De Morgan (insiemi)

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

Cardinalita unione

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Insieme delle parti

|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}

Prodotto cartesiano

A \times B = \{(a,b) : a \in A \;\land\; b \in B\}, \quad |A \times B| = |A|\cdot|B|

Leggi di De Morgan (logica)

\lnot(p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q, \qquad \lnot(p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q

Contronominale

(p \Rightarrow q) \equiv (\lnot q \Rightarrow \lnot p)

Un esempio svolto

Esercizio In una classe di $25$ studenti, $14$ studiano Inglese, $11$ studiano Francese e $5$ studiano entrambe le lingue. Quanti studenti non studiano nessuna delle due lingue?

Indichiamo con $I$ l'insieme di chi studia Inglese e con $F$ chi studia Francese: $|I| = 14$ , $|F| = 11$ , $|I \cap F| = 5$ .
Applichiamo il principio di inclusione-esclusione per l'unione: $|I \cup F| = |I| + |F| - |I \cap F|$ .
Sostituiamo i numeri: $|I \cup F| = 14 + 11 - 5 = 20$ , quindi $20$ studenti studiano almeno una lingua.
Chi non studia nessuna lingua appartiene al complementare: $|\overline{I \cup F}| = |U| - |I \cup F| = 25 - 20 = 5$ .

Risultato Gli studenti che non studiano nessuna delle due lingue sono $5$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere l'elemento $x$ con l'insieme $\{x\}$ : il primo è un oggetto, il secondo è una scatola che lo contiene.
Usare l'elencazione per insiemi infiniti: puoi scrivere $\{2,4,6,\dots\}$ solo se il pattern è chiarissimo, altrimenti serve la proprietà.
Confondere $\in$ con $\subseteq$ : $2\in\{1,2,3\}$ è vero, ma $2\subseteq\{1,2,3\}$ non ha senso ( $2$ non è un insieme).
Scambiare unione e intersezione: $\cup$ è "o" (più largo), $\cap$ è "e" (più stretto).
Confondere "non simmetrica" con "antisimmetrica": sono cose diverse. L'uguaglianza è simmetrica e antisimmetrica insieme, mentre una relazione può benissimo non essere né l'una né l'altra.
Pensare che $\{1,1,2\}$ abbia tre elementi: le ripetizioni non contano, ne ha due.
Leggere la barra $\mid$ come una divisione: dentro le graffe significa "tale che".
Dimenticare che $\varnothing$ e $A$ stesso sono sempre sottoinsiemi di $A$ .

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di insiemi e relazioni è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Insieme e appartenenzaUn insieme è una collezione di oggetti pensata come un tutto unico; l'unica domanda che conta è: questo oggetto c'è o non c'è? Si scrive $x\in A$ ("appartiene") oppure $x\notin A$ .
Come si descrive un insiemeUno stesso insieme può presentarsi con due volti diversi. A volte lo mostriamo elencando i suoi elementi uno per uno; altre volte lo descriviamo dicendo la regola che li accomuna. Sono due lingue per raccontare la stessa collezione.
Sottoinsiemi e insieme delle partiUna volta che sappiamo cos'è un insieme, viene naturale confrontare insiemi tra loro. La domanda chiave non è più "questo elemento c'è?" ma "questo insieme è contenuto in quell'altro?". Nasce così l'idea di sottoinsieme.
Operazioni tra insiemi e leggi di De MorganGli insiemi non restano isolati: si combinano. Proprio come con i numeri abbiamo somma e prodotto, con gli insiemi abbiamo operazioni che fondono, incrociano e tolgono collezioni. E come i numeri, anche queste operazioni obbediscono a leggi eleganti.
Relazioni: equivalenza e ordineFinora hai risposto a una sola domanda: questo oggetto sta o non sta nell'insieme? Ma quasi tutto ciò di cui parla la matematica riguarda i legami fra oggetti: essere minore, essere multiplo, essere equivalente, essere parallelo. Per maneggiare un legame serve un posto dove farlo vivere, e quel posto è fatto di coppie. Da lì nascono le due cose che con una relazione si fanno più spesso: raggruppare ciò che conta come uguale, e mettere in fila ciò che si può confrontare.

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