Matematica · 1ª superiore

Equazioni di primo grado: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di equazioni di primo grado con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Identità ed equazione

Guarda queste due scritture: $2(x+3)=2x+6$ e $2x+6=10$ . Sembrano parenti — stesse lettere, stesso segno di uguale — eppure raccontano storie opposte. Una è vera sempre, l'altra solo in un caso. Capire questa differenza è la porta d'ingresso a tutta l'algebra.

Un'uguaglianza è un'affermazione: dice che ciò che sta a sinistra vale quanto ciò che sta a destra. Ma un'affermazione può essere vera o falsa, e quando compare una lettera la sua verità dipende dal valore che diamo a quella lettera. Qui nasce il bivio.

Un'identità è un'uguaglianza che resta vera qualunque numero tu metta al posto della lettera. $2(x+3)=2x+6$ non ti chiede nulla: è vera per $x=0$ , per $x=100$ , per $x=-7$ . Non è un enigma, è una verità travestita: le due espressioni sono in realtà due modi di scrivere la stessa cosa. Le identità sono le regole del gioco algebrico (la proprietà distributiva, i prodotti notevoli): non si risolvono, si riconoscono.

Un'equazione, invece, è una domanda. $2x+6=10$ non è vera in generale: se provi $x=0$ ottieni $6=10$ , falso; se provi $x=2$ ottieni $10=10$ , vero. L'equazione mette una condizione: pretende che l'uguaglianza si realizzi, e ci sfida a trovare per quali valori accade. La lettera qui non è una variabile libera come nell'identità, è un'incognita: un numero preciso, momentaneamente nascosto.

La cosa affascinante è che dall'esterno le due scritture sono indistinguibili: entrambe hanno la forma $A=B$ . La differenza vive nel comportamento, nel numero di valori che le rendono vere: tutti per l'identità, alcuni (o nessuno) per l'equazione. È lo stesso oggetto grafico che porta due anime diverse.

Le formule che servono

Forma normale

ax + b = 0, \quad a \neq 0

Soluzione

x = -\dfrac{b}{a}

Primo principio (addizione)

A = B \iff A + C = B + C

Secondo principio (moltiplicazione)

A = B \iff A \cdot C = B \cdot C, \quad C \neq 0

Caso determinata

a \neq 0 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{b}{a}

Caso impossibile

a = 0,\; b \neq 0 \;\Rightarrow\; \nexists\, x

Caso indeterminata

a = 0,\; b = 0 \;\Rightarrow\; \forall x \in \mathbb{R}

Regola del trasporto

ax + b = c \iff ax = c - b

Un esempio svolto

Esercizio Risolvere l'equazione $3(x-2) + 4 = x + 6$ .

Svolgo i prodotti al primo membro: $3x - 6 + 4 = x + 6$ , cioe $3x - 2 = x + 6$ .
Porto i termini con $x$ a sinistra e i numeri a destra (primo principio): $3x - x = 6 + 2$ .
Riduco i termini simili: $2x = 8$ .
Divido entrambi i membri per $2$ (secondo principio): $x = \dfrac{8}{2} = 4$ .
Verifica: sostituendo $x=4$ ottengo $3(4-2)+4 = 10$ e $4+6 = 10$ , i due membri coincidono.

Risultato L'equazione e determinata e ha come unica soluzione $x = 4$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che ogni scrittura con l'uguale sia un'equazione da risolvere: le identità non chiedono nulla, esprimono una verità sempre valida.
Vedere $x$ come una lettera 'magica' o una variabile qualsiasi, e non come un numero determinato che momentaneamente ignoriamo.
Moltiplicare o dividere entrambi i membri per zero, o per un'espressione con l'incognita che può annullarsi (come $x$ o $x-1$ ): si rischia di distruggere o creare soluzioni.
Vedere la risoluzione come 'spostare numeri' meccanicamente, invece che come una catena di equazioni con la stessa risposta.
Leggere $0x=0$ come 'nessuna soluzione': è il contrario, ne ha infinite (indeterminata); il vuoto è il caso $0x=b$ con $b\ne 0$ .
Pensare che la lettera in un'identità e in un'equazione abbia lo stesso ruolo: nell'identità è variabile libera, nell'equazione è un'incognita da smascherare.
Confondere il procedimento con la soluzione: la risposta è il numero (o l'insieme di numeri) che rende vera l'uguaglianza, non i passaggi.
Applicare l'operazione a un solo membro o a un solo termine: i principi richiedono di agire sui membri interi ed entrambi.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di equazioni di primo grado è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Identità ed equazioneUn'uguaglianza tra due espressioni può essere sempre vera (identità) oppure vera solo per certi valori (equazione). La differenza non è nella forma $A=B$ , ma nel numero di valori che la rendono vera.
L'incognita e le soluzioniLa parola incognita viene dal latino: ciò che non è conosciuto. Ma c'è un salto mentale straordinario dietro la lettera $x$ : trattiamo un numero che non conosciamo come se lo conoscessimo già, lo scriviamo, lo manipoliamo, ci facciamo i conti. È un atto di fiducia che rende possibile l'algebra.
I due principi di equivalenzaC'è una domanda nascosta dietro ogni passaggio algebrico: 'quando ho il diritto di modificare un'equazione senza tradirla?' I due principi di equivalenza sono la risposta. Non sono trucchi per far sparire numeri: sono la garanzia che, cambiando la scrittura, non stiamo cambiando le soluzioni.
Il significato della risoluzioneRisolvere un'equazione assomiglia a tradurre una frase da una lingua oscura a una limpida, mantenendo intatto il significato. Il punto d'arrivo, $x=\text{numero}$ , è la traduzione più chiara possibile: dice a voce alta ciò che l'equazione originale nascondeva.
Determinate, indeterminate, impossibiliOgni equazione di primo grado, dopo la semplificazione, si affaccia alla forma essenziale $ax=b$ . E lì, in quei due coefficienti, è già scritto il suo destino: una risposta sola, infinite risposte, o nessuna. Non è il caso a deciderlo, è il valore di $a$ .

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