Matematica · 1ª superiore

Numeri razionali: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di numeri razionali con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

La frazione come rapporto

Prova a dividere 3 pizze fra 4 amici: nessuno riceve un numero intero di pizze, eppure la divisione ha un risultato preciso. Quel risultato ha un nome: $\frac{3}{4}$ . La frazione è la divisione che rifiutiamo di arrotondare.

Fin dalle elementari immaginiamo la frazione come "fette di torta": dividi l'unità in $b$ parti uguali e ne prendi $a$ . È un'immagine giusta e utile, ma nasconde l'idea più potente. Una frazione è prima di tutto un rapporto, cioè il modo di confrontare due quantità: $\frac{a}{b}$ dice quante volte $b$ sta in $a$ , anche quando non ci sta un numero intero di volte.

Ecco il salto concettuale: $\frac{a}{b}$ è esattamente il risultato della divisione $a\div b$ . Con i soli numeri interi la divisione $3\div 4$ non ha risposta; introducendo la frazione decidiamo di dare un nome a quel risultato invece di fermarci. Il denominatore $b$ ci dice in quante parti spezzettiamo l'unità (quindi "quanto è fine" la nostra unità di misura), il numeratore $a$ ci dice quante di quelle parti stiamo considerando.

Questa doppia lettura — "parti di un tutto" e "rapporto/divisione" — spiega perché la frazione è così versatile: descrive tre quarti di pizza, ma anche una velocità (chilometri per ora), una probabilità, la scala di una mappa, un prezzo al chilo. Ogni volta che due grandezze si confrontano, c'è un rapporto, e quel rapporto è una frazione.

Infine, il ruolo speciale del denominatore: non può mai essere zero. Dividere per zero significherebbe chiedere "in quante parti di ampiezza nulla si divide l'unità?", una domanda senza risposta sensata. Per questo $\frac{a}{0}$ non esiste: non è un numero molto grande, è proprio privo di significato.

Le formule che servono

Definizione di numero razionale

\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\;:\;a\in\mathbb{Z},\,b\in\mathbb{Z},\,b\neq 0\right\}

Frazioni equivalenti

\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}\qquad (k\neq 0)

Confronto (prodotto in croce)

\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}\iff a\,d<b\,c\quad (b,d>0)

Somma e differenza

\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\,d\pm b\,c}{b\,d}

Prodotto

\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\,c}{b\,d}

Quoziente (reciproco)

\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\,d}{b\,c}\quad (c\neq 0)

Potenza con esponente intero

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}},\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}

Frazione generatrice (decimale periodico semplice)

0,\overline{a_1\cdots a_k}=\dfrac{a_1\cdots a_k}{\underbrace{9\cdots 9}_{k}}

Un esempio svolto

Esercizio Calcola il valore dell'espressione $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{8}{5}$ e riduci ai minimi termini.

Applico la precedenza degli operatori: prima la moltiplicazione $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{8}{5}=\dfrac{1\cdot 8}{4\cdot 5}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$ .
Resta la somma $\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}$ ; il minimo comune denominatore di $3$ e $5$ è $15$ .
Riscrivo le frazioni con denominatore $15$ : $\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}$ e $\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{15}$ .
Sommo i numeratori: $\dfrac{10}{15}+\dfrac{6}{15}=\dfrac{16}{15}$ .
Verifico la riducibilità: $\gcd(16,15)=1$ , quindi $\dfrac{16}{15}$ è già ridotta ai minimi termini.

Risultato $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{15}$

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Pensare che la frazione sia solo "fette di torta" e non riconoscerla come una divisione/rapporto (velocità, prezzi, probabilità).
Credere che frazioni con cifre diverse siano numeri diversi: $\frac{2}{4}$ e $\frac{1}{2}$ sono lo stesso numero.
Sommare numeratori con numeratori e denominatori con denominatori: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne\frac{2}{5}$ .
Pensare che un decimale periodico non sia un numero razionale: lo è eccome, e si riscrive come frazione.
Credere che $a^{-n}$ sia un numero negativo: è invece il reciproco $\frac{1}{a^{n}}$ , positivo se $a>0$ .
Credere che $\frac{a}{0}$ valga infinito o zero: semplicemente non è definita.
Semplificare sommando o sottraendo lo stesso numero sopra e sotto: si può solo moltiplicare/dividere per lo stesso fattore.
Credere che moltiplicare renda sempre più grande: il prodotto di due frazioni positive minori di 1 è più piccolo di entrambe.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di numeri razionali è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

La frazione come rapportoUna frazione $\frac{a}{b}$ non è solo "tante parti di una torta": è soprattutto un rapporto, il risultato di una divisione $a\div b$ che vogliamo tenere esatta. Il denominatore dice in quante parti dividiamo l'unità, il numeratore quante ne prendiamo.
L'insieme Q e le frazioni equivalentiPerché inventare un nuovo insieme di numeri? Perché in $\mathbb{Z}$ la divisione spesso "non torna". $\mathbb{Q}$ è la mossa che rende la divisione (quasi) sempre possibile, e con essa arriva una sorpresa: lo stesso numero ha infiniti nomi.
Le operazioni in QSommare due frazioni non è come sommare due interi: prima devi assicurarti di parlare di parti della stessa dimensione. Dietro le regole di calcolo c'è un'idea semplice e visiva che le rende tutte necessarie, non arbitrarie.
Decimali finiti e periodiciPerché $\frac{1}{4}$ dà un decimale che finisce ( $0{,}25$ ) mentre $\frac{1}{3}$ dà un $0{,}333\ldots$ che non finisce mai? La risposta non è magia: è scritta dentro il denominatore, e rivela il legame profondo tra frazioni e numeri decimali.
Potenze intere e notazione scientificaCosa può mai significare elevare a $-2$ , o a $0$ ? A prima vista non ha senso: non si può moltiplicare un numero "per se stesso zero volte". Eppure queste scritture sono utilissime, e nascono da un principio elegante: non rompere le regole che già funzionano.

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