Matematica · 1ª superiore

Monomi e polinomi: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

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Da dove si parte

Il monomio: coefficiente, parte letterale e grado

Immagina di dover contare oggetti che si assomigliano: tre mele, cinque quaderni. Il monomio nasce dalla stessa idea, ma usa le lettere per rappresentare quantità che non conosciamo ancora. È il "mattone" più semplice del calcolo letterale.

Un monomio è un'espressione fatta solo di moltiplicazioni tra un numero e delle lettere: $-3a^2b$ , $\frac{1}{2}x$ , oppure anche il solo numero $7$ . Ciò che lo caratterizza è l'assenza di somme, sottrazioni e divisioni per lettere: dentro un monomio non compaiono mai un $+$ o un $-$ che separano pezzi diversi.

Ogni monomio ha due anime. Il coefficiente è la parte numerica, ci dice "quanti": in $-3a^2b$ il coefficiente è $-3$ . La parte letterale è l'insieme delle lettere con i loro esponenti, $a^2b$ , e ci dice "di che tipo" è la quantità. Pensa alla parte letterale come a un'unità di misura: $5\,\text{kg}$ e $3\,\text{kg}$ si possono sommare perché sono la stessa cosa; $5\,\text{kg}$ e $3\,\text{m}$ no. Vale lo stesso per $5a^2b$ e $3a^2b$ .

Il grado misura quanto è "pieno" di lettere il monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere. In $-3a^2b$ il grado è $2+1=3$ . Perché ci interessa? Perché il grado governa il comportamento del monomio: un termine di grado alto cresce molto più in fretta al crescere delle variabili, ed è per questo che, ordinando un polinomio, guardiamo proprio i gradi.

Un'ultima idea utile: si dice che un monomio è ridotto a forma normale quando le lettere uguali sono state raccolte in un'unica potenza (scriviamo $a^2$ , non $a\cdot a$ ). È la forma "pettinata", quella in cui coefficiente, parte letterale e grado si leggono a colpo d'occhio.

Le formule che servono

Grado di un monomio

\deg(a\,x^m y^n) = m + n

Prodotto di monomi

(a\,x^m)(b\,x^n) = ab\,x^{m+n}

Quoziente di monomi

\dfrac{a\,x^m}{b\,x^n} = \dfrac{a}{b}\,x^{m-n}

Potenza di un monomio

(a\,x^m)^n = a^n\,x^{mn}

Somma di monomi simili

a\,x^m + b\,x^m = (a+b)\,x^m

Prodotto di un monomio per un polinomio

a\,(b + c + d) = ab + ac + ad

Quadrato di binomio

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Cubo di binomio

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

Somma per differenza

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Quadrato di trinomio

(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Un esempio svolto

Esercizio Sviluppa e semplifica l'espressione $(2x + 3)^2 - (2x + 3)(2x - 3)$ .

Sviluppo il primo termine con il quadrato di binomio: $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2\cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$ .
Sviluppo il secondo termine con la somma per differenza: $(2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$ .
Sostituisco nell'espressione, facendo attenzione al segno meno davanti alla parentesi: $4x^2 + 12x + 9 - (4x^2 - 9)$ .
Tolgo la parentesi cambiando i segni: $4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 9$ .
Sommo i monomi simili: $4x^2 - 4x^2 = 0$ e $9 + 9 = 18$ , quindi resta $12x + 18$ .

Risultato $12x + 18$

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere il grado con il coefficiente: il grado somma gli esponenti, non guarda il numero davanti.
Sommare monomi non simili, per esempio scrivere $2a+3b=5ab$ : è l'errore più classico.
Dire che il grado è la somma dei gradi dei termini: è il massimo, non la somma.
Non distribuire il segno meno a tutti i termini della parentesi che si sottrae.
Scrivere $(a+b)^2=a^2+b^2$ dimenticando il doppio prodotto $2ab$ : è l'errore più diffuso.
Dimenticare l'esponente $1$ sottinteso: in $b$ l'esponente è $1$ e conta nel grado.
Moltiplicare gli esponenti quando si somma o sommarli quando si moltiplica: nella somma la parte letterale non si tocca.
Lasciare termini simili non sommati e credere che il polinomio sia già ridotto.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di monomi e polinomi è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Il monomio: coefficiente, parte letterale e gradoUn monomio è un prodotto di numeri e lettere, senza addizioni né sottrazioni: es. $-3a^2b$ . Ha un coefficiente (la parte numerica), una parte letterale (le lettere con i loro esponenti) e un grado, cioè la somma degli esponenti delle lettere.
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