Matematica · 1ª superiore

Statistica descrittiva: spiegazione, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di statistica descrittiva con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Popolazione, unità e caratteri

Prima di calcolare qualsiasi cosa, la statistica ti chiede tre domande: chi stai studiando, uno per uno chi sono, e cosa vuoi sapere di loro. Rispondere bene a queste tre domande è già metà del lavoro.

Immagina di voler capire com'è fatta la tua classe. L'insieme di tutti i tuoi compagni è la popolazione: il collettivo di cui vuoi parlare. Non è per forza fatta di persone: può essere l'insieme delle automobili di un parcheggio, delle partite giocate da una squadra, dei giorni di un mese. La popolazione è semplicemente "tutto ciò che sto osservando".

Ogni singolo membro di quella popolazione è un'unità statistica: il singolo compagno, la singola automobile, il singolo giorno. Su ciascuna unità posso rilevare delle proprietà, e queste proprietà si chiamano caratteri. Su un compagno posso rilevare l'altezza, il colore degli occhi, il voto in matematica, la squadra del cuore. Ogni carattere, quando viene osservato su un'unità, assume un valore preciso che chiamiamo modalità: se il carattere è "colore degli occhi", le modalità possibili sono "azzurri", "marroni", "verdi".

Qui nasce una distinzione decisiva. Alcuni caratteri si esprimono a parole, con delle qualità: il colore degli occhi, il sesso, la squadra del cuore. Sono caratteri qualitativi. Altri si esprimono con dei numeri che contano o misurano qualcosa: l'altezza, il numero di fratelli, il voto. Sono caratteri quantitativi. La differenza non è un capriccio: su un carattere qualitativo non ha alcun senso fare una media (qual è la "media" tra azzurro e marrone?), mentre su uno quantitativo sì. Capire subito con che tipo di carattere hai a che fare ti dice già quali strumenti potrai usare dopo.

A volte non riusciamo a osservare tutta la popolazione — pensa a voler conoscere l'altezza media di tutti gli italiani. Allora ne studiamo solo una parte, un campione, e da lì cerchiamo di dire qualcosa sul tutto. Ma questo è già il territorio della statistica inferenziale: nella statistica descrittiva ci limitiamo a descrivere fedelmente i dati che abbiamo davanti, senza pretendere di indovinare ciò che non vediamo.

Le formule che servono

Media aritmetica

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Media aritmetica ponderata

\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \, n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}

Frequenza relativa

f_i = \frac{n_i}{n}

Mediana (n dispari / pari)

\mathrm{Me} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \quad\text{oppure}\quad \mathrm{Me} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}

Varianza

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2

Deviazione standard (scarto quadratico medio)

\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Coefficiente di variazione

CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}

Un esempio svolto

Esercizio In una classe i voti dell'ultima verifica di matematica sono stati: $5,\ 6,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9$ . Calcola media, mediana, varianza e deviazione standard.

I dati sono $n=6$ . La media è $\bar{x} = \dfrac{5+6+7+7+8+9}{6} = \dfrac{42}{6} = 7$ .
I dati sono già ordinati e $n=6$ è pari: la mediana è la media dei due valori centrali (3° e 4° termine), cioè $\mathrm{Me} = \dfrac{7+7}{2} = 7$ .
Calcolo gli scarti dalla media e i loro quadrati: $(5-7)^2=4$ , $(6-7)^2=1$ , $(7-7)^2=0$ , $(7-7)^2=0$ , $(8-7)^2=1$ , $(9-7)^2=4$ . La somma è $4+1+0+0+1+4 = 10$ .
La varianza è $\sigma^2 = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ .
La deviazione standard è $\sigma = \sqrt{\dfrac{5}{3}} \approx 1{,}29$ .

Risultato $\bar{x}=7$ , $\ \mathrm{Me}=7$ , $\ \sigma^2 = \dfrac{5}{3}\approx 1{,}67$ , $\ \sigma \approx 1{,}29$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere la popolazione (l'insieme intero) con l'unità statistica (il singolo membro).
Confrontare frequenze assolute di popolazioni di dimensione diversa, concludendo cose sbagliate.
Usare sempre la media senza accorgersi che un valore estremo (outlier) la distorce.
Descrivere un insieme con la sola media, dimenticando che senza la variabilità il quadro è incompleto e talvolta ingannevole.
Credere che "popolazione" riguardi solo le persone: può essere qualsiasi collettivo di oggetti o eventi.
Dimenticare che la somma delle frequenze relative deve dare 1 (e le percentuali 100%): se non torna, c'è un errore.
Calcolare la mediana senza aver prima ordinato i dati: sull'ordine si fonda tutto.
Fare la media degli scarti senza elevarli al quadrato: verrebbe sempre zero, per questo si usano i quadrati.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di statistica descrittiva è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Popolazione, unità e caratteriLa statistica nasce per descrivere un insieme: la popolazione è il collettivo che studiamo, le unità statistiche i suoi singoli membri, i caratteri le proprietà che rileviamo su ciascuno. Ogni carattere assume dei valori detti modalità e può essere qualitativo o quantitativo.
Frequenze: assolute, relative, percentualiUna volta raccolti i dati, il primo gesto della statistica è antichissimo: contare. Ma contare quante volte compare ogni modalità apre subito una domanda più sottile: quel numero, rispetto al totale, è tanto o poco?
Indici di posizione: media, mediana, modaUna tabella di dati è precisa ma indigesta. Il cervello chiede un solo numero che dica "ecco, più o meno, com'è questo gruppo". Ma di numeri-riassunto ce ne sono tre, e ciascuno racconta una storia diversa di cosa significhi "valore tipico".
Variabilità: campo di variazione e varianzaDue classi hanno entrambe voto medio 6. Nella prima quasi tutti prendono 6, nella seconda metà prende 3 e metà prende 9. La media è identica, eppure le due classi non potrebbero essere più diverse. Ciò che le distingue non è la posizione: è la dispersione.

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