Statistica: spiegazione, formule ed esempio svolto

Prima di calcolare qualsiasi indice, dobbiamo capire da dove partono i conti. La statistica nasce da una domanda semplice: di fronte a una montagna di osservazioni, come le mettiamo in ordine per poterle leggere? La risposta è la distribuzione di frequenza. È il primo, vero gesto statistico: smettere di guardare i dati uno per uno e cominciare a contarli per gruppi.

Immagina di intervistare tutta la classe e di annotare, per ognuno, il colore degli occhi e l'altezza in centimetri. Quello che stai osservando si chiama carattere (il colore, l'altezza), mentre i valori concreti che ogni persona presenta sono le modalità (azzurro, castano, oppure $170$, $182$...).

Qui nasce una distinzione che conviene tenere a mente fin da subito. Alcuni caratteri sono qualitativi: descrivono una qualità, come il colore degli occhi o lo sport preferito, e le loro modalità sono categorie, non numeri. Altri sono quantitativi: si misurano con un numero, come l'altezza o il numero di fratelli. Questa differenza non è un capriccio: deciderà quali indici avranno senso più avanti. Su un colore non si può fare una media; su un'altezza sì.

Una volta raccolti i dati, l'elenco grezzo è quasi inutile: settanta numeri in fila non dicono niente. Il passaggio chiave è contare. La frequenza assoluta di una modalità è semplicemente quante volte quella modalità compare. È il conteggio più onesto possibile.

Ma l'assoluto, da solo, inganna. Sapere che $12$ studenti hanno gli occhi azzurri significa poco se non so se la classe è di $20$ o di $300$ persone. Per questo introduciamo la frequenza relativa: il rapporto tra la frequenza assoluta e il totale delle osservazioni. È un numero tra $0$ e $1$ che risponde alla domanda che peso ha questa modalità sul totale?. Moltiplicandola per $100$ otteniamo la frequenza percentuale, che è solo la stessa informazione vestita in modo più familiare.

La proprietà più bella delle frequenze relative è che la loro somma fa sempre $1$ (e quella delle percentuali fa $100$). Non è una coincidenza: stiamo dividendo una torta intera in fette, e le fette, rimesse insieme, ricostruiscono per forza la torta.

C'è poi un'ultima idea, sottile ma potentissima, che ha senso solo quando le modalità sono ordinabili (numeri, oppure categorie con un ordine naturale come i voti). È la frequenza cumulata: per ogni modalità non conto solo quante osservazioni la presentano, ma quante ne presentano una uguale o minore. La cumulata risponde a domande del tipo quanti studenti hanno preso al massimo $7$?. È una frequenza che si accumula scorrendo l'elenco ordinato dal basso verso l'alto.

Ma attenzione: di cumulata ne esistono due versioni, e confonderle è un classico. La cumulata assoluta $N_k$ somma le frequenze assolute: parte dal primo conteggio e cresce fino a raggiungere $N$, il totale delle osservazioni, sull'ultima modalità. La cumulata relativa $F_k$ somma invece le frequenze relative: cresce nello stesso modo, ma raggiunge $1$ (cioè il $100\%$) sull'ultima modalità. Sono la stessa idea misurata su due righelli diversi — uno conta teste, l'altro conta proporzioni — e infatti $F_k = N_k / N$. Tieni ferma la distinzione: una arriva a $N$, l'altra arriva a $1$.

Proprio questa idea ci regalerà, quasi gratis, la mediana. La cumulata relativa ci dice, per ogni valore, quale frazione di dati gli sta sotto o pari: il primo valore in cui la cumulata raggiunge o supera $0{,}5$ è esattamente quello che lascia metà dei dati alle proprie spalle. Lo vedremo all'opera nel prossimo step, quando cercheremo il centro della distribuzione.