Disequazioni avanzate: come si fa, formule ed esempio svolto

Fin qui una disequazione ti ha dato un intervallo sulla retta dei numeri: un insieme di valori accettabili per una sola incognita. Ora le incognite diventano due, perché due sono le cose da decidere: quanti pezzi del primo prodotto e quanti del secondo. L'insieme delle scelte ammesse smette di essere un intervallo e diventa una regione del piano, e la domanda cambia natura: non «quali scelte sono possibili», ma «fra quelle possibili, qual è la migliore».

Da dove nasce. Un laboratorio ha a disposizione $100$ ore di montaggio e $80$ ore di verniciatura alla settimana, e due prodotti che se le mangiano in proporzioni diverse. Quanti pezzi dell'uno e quanti dell'altro conviene fare? Nessuna equazione risponde a questa domanda. Un'equazione chiede quali valori rendono vera un'uguaglianza; qui la domanda è un'altra: fra tutte le scelte possibili, qual è la migliore? È un problema di ottimizzazione, ed è uno dei pochi che sai risolvere fino in fondo senza derivate, con la sola geometria delle disequazioni. Si chiama programmazione lineare — «lineare» perché vincoli e obiettivo sono di primo grado, «programmazione» nel senso di pianificazione — ed è il mattone elementare della ricerca operativa.

Prima cosa: una disequazione in due incognite è un semipiano. Prendi $2x + y \le 100$. L'uguaglianza $2x + y = 100$ è una retta. Ora guarda l'espressione $f(x,y) = 2x + y - 100$: sulla retta vale zero, e per cambiare segno deve per forza passare da zero, cioè attraversare la retta. Quindi la retta taglia il piano in due semipiani, e dentro ciascuno il segno di $f$ è costante: o tutti i punti soddisfano la disequazione, o nessuno. Da qui il modo onesto di decidere quale dei due serve, il test del punto: scegli un punto fuori dalla retta (l'origine, quando non ci passa), sostituisci e guarda se la disuguaglianza è vera. Se lo è, il semipiano buono è quello che contiene il punto; altrimenti è l'altro. Diffida della regoletta «$\ge$ vuol dire sopra»: vale solo dopo aver isolato $y$ con coefficiente positivo, e se moltiplichi per un numero negativo il verso si rovescia.

Il sistema disegna la regione ammissibile. Ogni vincolo del problema è una disequazione, quindi un semipiano; metterli a sistema vuol dire intersecarli. L'intersezione si chiama regione ammissibile: l'insieme di tutte e sole le scelte che rispettano contemporaneamente ogni vincolo. Il modello generale è questo, con la funzione obiettivo a fianco:

La regione può presentarsi in tre modi: un poligono convesso (il caso tipico delle risorse limitate, vincoli $\le$ più $x \ge 0$ e $y \ge 0$), una regione illimitata (tipica dei vincoli $\ge$, cioè «almeno tanto»), oppure l'insieme vuoto, e allora il problema è impossibile perché le richieste si contraddicono. La parola convessa non è decorativa: dice che, presi due punti ammissibili, tutto il segmento che li unisce è ammissibile. È vero perché ogni semipiano ha questa proprietà e l'intersezione la eredita, ed è proprio questa convessità che, fra poco, impedirà all'ottimo di nascondersi in mezzo alla regione.

La funzione obiettivo e le sue rette di livello. La grandezza da rendere massima o minima (guadagno, costo, tempo) si scrive $z = ax + by$. Il passo decisivo è smettere di pensarla come un numero da calcolare punto per punto e cominciare a leggerla per livelli: fissa un valore $k$ e chiediti dove $z$ vale esattamente $k$. La risposta è la retta $ax + by = k$, e al variare di $k$ tutte queste rette hanno lo stesso coefficiente angolare $-a/b$ (se $b = 0$ sono rette verticali, e restano parallele): sono parallele, un fascio improprio. Cambiare $k$ non ruota la retta, la trasla. È la mappa con le curve di livello: ogni retta è una quota, e per sapere da che parte si sale basta disegnarne due, per esempio $z = 0$ e $z = 60$, e guardare come si spostano.

Il teorema fondamentale. Massimizzare $z$ significa allora spingere la retta di livello, parallelamente a sé stessa, nella direzione in cui $k$ cresce, e fermarsi un istante prima di staccarsi dalla regione. Dove avviene l'ultimo contatto? Non in un punto interno (salvo il caso senza interesse in cui $z$ è costante ovunque): attorno a un punto interno c'è regione in ogni direzione, quindi puoi sempre spostarti un po' da quella in cui $z$ cresce e fare meglio. E nemmeno dentro un lato, a meno che la retta di livello sia parallela proprio a quel lato. Resta il vertice. L'enunciato è questo: se la regione ammissibile non è vuota e l'ottimo cercato esiste, esso è assunto in almeno un vertice; l'esistenza è garantita quando la regione è un poligono — non vuota, limitata e chiusa, com'è sempre con vincoli $le$ e $ge$ e mai con disuguaglianze strette — e in quel caso $z$ ha sia massimo sia minimo; se l'ottimo è assunto in due vertici adiacenti, allora è assunto in tutti i punti del lato che li unisce — infinite scelte ottime, tutte con lo stesso valore di $z$.

Da qui il metodo, che ormai è solo una conseguenza. Il teorema fa una cosa enorme: riduce una ricerca fra infiniti punti al confronto fra pochi numeri.

• Traduci: scegli le due incognite, scrivi i vincoli e la funzione obiettivo, senza dimenticare i vincoli di realtà $x \ge 0$ e $y \ge 0$.
• Disegna le rette dei vincoli e, con il test del punto, i semipiani; evidenzia la regione.
• Trova i vertici risolvendo i sistemi delle coppie di rette che si incontrano, e scarta le intersezioni che cadono fuori dalla regione: esistono quasi sempre, e non sono scelte ammissibili.
• Calcola $z$ in ogni vertice e confronta.

Nessuna derivata, nessun limite: solo sistemi di primo grado e un confronto fra numeri.

Quando la regione è illimitata. Qui il teorema va letto con attenzione, perché l'esistenza dell'ottimo è un'ipotesi, non un regalo: il vertice dice dove cercarlo, non che ci sia. Se la regione si estende senza fine proprio nella direzione in cui $z$ cresce, il massimo non esiste: qualunque scelta tu faccia, ce n'è una migliore. Nei problemi di costo minimo con vincoli «almeno» ($2x + y \ge 12$ e simili) accade esattamente questo: il minimo esiste — i costi sono positivi, quindi allontanandosi dall'origine si spende solo di più — e sta in un vertice, mentre il massimo non c'è. Prima di rispondere, guarda sempre se la regione è chiusa dalla parte in cui stai spingendo la retta.

Un'ultima onestà. Se $x$ e $y$ contano pezzi, il vertice ottimo può avere coordinate non intere, e arrotondare non garantisce la soluzione migliore fra quelle intere: quel problema si chiama programmazione lineare intera e si affronta con altri strumenti. Nei problemi che incontri i numeri sono scelti perché l'ottimo cada dove ha senso.