Matematica · 5ª superiore

Studio di funzione: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di studio di funzione con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Dominio

Il dominio (o campo di esistenza) è l'insieme di tutti i valori di $x$ per cui la funzione $f(x)$ produce un risultato reale e ben definito: è il primo passo perché stabilisce "dove vive" la funzione, cioè la zona del piano in cui esisterà il grafico.

Determinare il dominio significa imporre le condizioni di esistenza (C.E.) di ogni operazione "pericolosa" presente nella formula e poi farne l'intersezione, perché tutte le condizioni devono valere contemporaneamente affinché $f(x)$ abbia senso.

Il perché è che in $\mathbb{R}$ alcune operazioni non sono sempre definite: non si può dividere per zero, non si può estrarre una radice di indice pari da un numero negativo, il logaritmo è definito solo su argomenti strettamente positivi, e $\arcsin/\arccos$ accettano solo argomenti in $[-1,1]$ .

I criteri operativi sono: (1) per ogni denominatore $g(x)$ imponi $g(x)\neq 0$ ; (2) per ogni radice di indice pari $\sqrt[2n]{g(x)}$ imponi $g(x)\geq 0$ (radicando maggiore o uguale a zero, lo zero è ammesso perché $\sqrt{0}=0$ ); (3) per ogni logaritmo $\log_a g(x)$ imponi $g(x)>0$ (argomento strettamente positivo, lo zero NON è ammesso); (4) per $\arcsin g(x)$ e $\arccos g(x)$ imponi $-1\leq g(x)\leq 1$ . Attenzione ai casi misti: una radice pari al denominatore, cioè $\frac{1}{\sqrt[2n]{g(x)}}$ , combina due vincoli e dà $g(x)>0$ (stretto), perché il radicando deve essere non negativo ma allo stesso tempo diverso da zero per non annullare il denominatore. Le radici di indice dispari ( $\sqrt[3]{\;}$ , $\sqrt[5]{\;}$ ) e le funzioni come $\sin x,\cos x, e^x$ , i polinomi e $\arctan x$ non pongono alcuna condizione: il loro dominio è tutto $\mathbb{R}$ .

Operativamente conviene numerare le condizioni, risolvere ogni disequazione/equazione separatamente, riportare le soluzioni su un'unica retta reale e prendere la parte comune (intersezione); il risultato si scrive sotto forma di unione di intervalli o con la notazione $\{x\in\mathbb{R}: \dots\}$ . Il dominio condiziona molti passi successivi: gli asintoti verticali si cercano nei punti finiti esclusi dal dominio (di solito gli zeri dei denominatori o gli estremi delle C.E.), gli asintoti orizzontali/obliqui dipendono dal comportamento agli estremi illimitati del dominio, e simmetrie pari/dispari sono possibili solo se il dominio stesso è simmetrico rispetto all'origine.

Le formule che servono

Dominio (frazione)

\text{denominatore} \neq 0 \;\Rightarrow\; D = \{x \in \mathbb{R} : g(x) \neq 0\}

Simmetria pari / dispari

f(-x) = f(x)\ \text{(pari)}, \qquad f(-x) = -f(x)\ \text{(dispari)}

Asintoto verticale

\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty \;\Rightarrow\; x = x_0

Asintoto orizzontale

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell \;\Rightarrow\; y = \ell

Asintoto obliquo

y = mx + q,\quad m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x},\quad q = \lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - mx\big)

Crescenza / decrescenza

f'(x) > 0 \Rightarrow f \nearrow, \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \searrow

Punti stazionari

f'(x_0) = 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ candidato a max/min/flesso orizzontale}

Concavita e flessi

f''(x) > 0 \Rightarrow \text{concava verso l'alto}, \quad f''(x) < 0 \Rightarrow \text{verso il basso}

Un esempio svolto

Esercizio Studia la funzione $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ determinando dominio, asintoti ed eventuali massimi e minimi.

Dominio: il denominatore si annulla per $x-1=0$ , cioe $x=1$ . Quindi $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Asintoto verticale: $\lim_{x \to 1^{\pm}} \frac{x^2}{x-1} = \pm\infty$ , quindi la retta $x=1$ e asintoto verticale.
Asintoto obliquo: $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-1)} = 1$ ; poi $q = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^2}{x-1} - x\right) = \lim_{x \to \infty}\frac{x}{x-1} = 1$ . Asintoto: $y = x+1$ .
Derivata prima: $f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ .
Punti stazionari: $f'(x)=0$ per $x=0$ e $x=2$ . Il segno di $f'$ da: $f \nearrow$ in $x<0$ , $f \searrow$ in $0<x<1$ e $1<x<2$ , $f \nearrow$ in $x>2$ .
Quindi $x=0$ e un massimo relativo con $f(0)=0$ , e $x=2$ e un minimo relativo con $f(2)=\frac{4}{1}=4$ .

Risultato Dominio $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; asintoto verticale $x=1$ e asintoto obliquo $y=x+1$ ; massimo relativo in $(0,0)$ e minimo relativo in $(2,4)$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere le condizioni di radice e logaritmo: per la radice pari serve $g(x)\geq 0$ (lo zero è ammesso), per il logaritmo serve $g(x)>0$ (stretto, lo zero NON è ammesso).
Saltare il controllo del dominio simmetrico: se $D$ non è simmetrico (es. $f(x)=\sqrt{x}$ con $D=[0,+\infty)$ ) la funzione NON può essere né pari né dispari, qualunque cosa risulti da $f(-x)$ .
Annullare il denominatore: in $\frac{N}{D}=0$ si pone $N=0$ , MAI $D=0$ . Gli zeri del denominatore non sono intersezioni con l'asse $x$ , sono (di norma) asintoti verticali.
Moltiplicare entrambi i membri di $\frac{N}{D}>0$ per $D(x)$ : se $D(x)<0$ il verso della disequazione si inverte. Va studiato il segno di $N$ e $D$ separatamente.
Cercare l'asintoto verticale dove il dominio è definito: i candidati sono SOLO i punti esclusi dal dominio (denominatori nulli, argomenti di log nulli), non punti qualsiasi.
Concludere che $x_0$ è massimo o minimo solo perché $f'(x_0)=0$ : è necessario VERIFICARE il cambio di segno. Esempio: $f(x)=x^3$ ha $f'(0)=0$ ma in $x=0$ c'è un flesso a tangente orizzontale, non un estremo.
Concludere che c'è' un flesso solo perché $f''(x_0)=0$ : è necessario ma non sufficiente. Va SEMPRE verificato il cambio di segno (controesempio $f(x)=x^4$ , con $f''=12x^2\ge0$ che non cambia segno in $x=0$ ).
Disegnare la curva che attraversa o tocca un asintoto verticale: i due rami devono restare separati e schiacciarsi sull'asintoto senza toccarlo.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di studio di funzione è divisa in 8 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

DominioDove la funzione esiste: denominatori diversi da zero, argomenti del logaritmo positivi, radicandi di indice pari non negativi.
SimmetrieStudiare le simmetrie significa scoprire se il grafico si "ripete" in modo regolare rispetto all'asse $y$ (funzione pari) o all'origine (funzione dispari): individuata la simmetria, basta studiare la funzione su metà dominio e poi riflettere, dimezzando il lavoro.
IntersezioniLe intersezioni con gli assi cartesiani individuano i punti in cui il grafico tocca o attraversa l'asse $x$ e l'asse $y$ ; servono ad ancorare la curva a coordinate certe e ad anticipare lo studio del segno.
SegnoLo studio del segno determina in quali intervalli del dominio la funzione sta sopra l'asse $x$ (cioè $f(x)>0$ ) e in quali sta sotto (cioè $f(x)<0$ ). Serve a sapere, prima ancora di tracciare il grafico, in quali regioni del piano la curva è confinata.
Limiti e asintotiIn questo passo studiamo il comportamento della funzione "ai bordi" del dominio (punti esclusi e $\pm\infty$ ) tramite i limiti, e ne deduciamo gli asintoti: rette a cui il grafico si avvicina indefinitamente. È il passo che fissa la "cornice" entro cui disegnare la curva.
Derivata primaLa derivata prima $f'(x)$ misura la pendenza della retta tangente al grafico: studiandone il SEGNO si scopre dove la funzione cresce o decresce e si individuano e classificano i punti di massimo, di minimo e i flessi a tangente orizzontale. È il passo che dà al grafico la sua forma "in salita/discesa".
Derivata secondaLa derivata seconda $f''(x)$ studia la concavità del grafico e individua i flessi. E' lo strumento che, dopo aver trovato crescenza e massimi/minimi con $f'$ , ci dice "come si curva" la funzione: verso l'alto o verso il basso.
GraficoIl passo Grafico è la sintesi conclusiva dello studio di funzione: tutte le informazioni raccolte nei passi precedenti vengono fuse in un unico disegno coerente che rappresenta fedelmente l'andamento di $f(x)$ .

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