Integrali: come si fa, formule ed esempio svolto

Sai già calcolare un integrale, ma che cosa stai calcolando davvero? Qui torni al problema da cui tutto nasce: misurare l'area sotto una curva. Vedrai come l'integrale definito esce da somme di rettangoli sempre più sottili, perché il simbolo ha quella forma e perché il risultato può venire negativo.

Un problema antico. L'area di un rettangolo è base per altezza; quella di una regione con un bordo curvo non ha una formula pronta. Archimede trovò l'area del segmento di parabola riempiendolo con triangoli sempre più piccoli, finché ciò che restava fuori diventava trascurabile: è il metodo di esaustione. L'integrale è l'erede di quell'idea con un ingrediente nuovo: il limite.

Rettangoli in tenaglia. Prendi $f$ continua su $[a,b]$ e dividi l'intervallo in $n$ pezzi uguali, larghi $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Su ogni pezzo costruisci un rettangolo alto quanto il minimo di $f$ (sta sotto la curva) e uno alto quanto il massimo (sborda). Sommando ottieni la somma inferiore $s_n$ e la somma superiore $S_n$, con l'area $A$ schiacciata in mezzo: $s_n\le A\le S_n$. Al crescere di $n$ i rettangoli si assottigliano e, poiché $f$ è continua, $S_n-s_n\to 0$: la tenaglia si chiude su un solo numero, l'integrale definito di $f$ su $[a,b]$.

Un esempio con i conti. Per $f(x)=x^2$ su $[0,1]$, con $n$ rettangoli di base $\frac{1}{n}$ e altezza presa nell'estremo destro $x_i=\frac{i}{n}$:

Con $n=10$ viene $0{,}385$, con $n=100$ circa $0{,}3384$, con $n=1000$ circa $0{,}3338$: la somma scende verso $\frac{1}{3}$, mentre quella con gli estremi sinistri ($0{,}285$ per $n=10$) sale verso lo stesso valore. Il teorema fondamentale ti risparmierà questo limite.

Il simbolo. Leibniz scrisse $\int f(x)\,dx$ pensando ai rettangoli (gli estremi $a$ e $b$ sul simbolo arrivarono più tardi, con Fourier): $\int$ è una S allungata, da summa, e $f(x)\,dx$ è l'area di un rettangolo sottilissimo, alto $f(x)$ e largo $dx$. Leggilo così: «somma, da $a$ a $b$, di fettine alte $f(x)$ e larghe $dx$». Il risultato è un numero, non una funzione: la $x$ è muta e $\int_a^b f(t)\,dt$ è lo stesso numero.

L'integrale con segno. Dove $f$ è negativa i rettangoli hanno altezza $f(x_i)<0$ e contribuiscono col segno meno: sotto l'asse l'integrale conta l'area in negativo. Così $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0$, perché la gobba sopra e quella sotto si cancellano. Per l'area geometrica devi spezzare dove $f$ cambia segno e sommare i valori assoluti.

Proprietà che discendono dai rettangoli. Ogni proprietà dell'integrale è una proprietà delle somme:

• linearità: $\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g$, perché le altezze si sommano rettangolo per rettangolo;
• additività: $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$, perché spezzare l'intervallo spezza la somma;
• scambio degli estremi: $\int_b^a f=-\int_a^b f$, perché all'indietro le basi $\Delta x$ sono negative; quindi $\int_a^a f=0$.

Valore medio. Dividendo l'integrale per la lunghezza dell'intervallo ottieni la media di $f$: $\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$, l'altezza del rettangolo che ha la stessa area della regione. Per $x^2$ su $[0,1]$ vale $\frac{1}{3}$.