Distribuzioni di probabilità: come si fa, formule ed esempio svolto

Una variabile aleatoria trasforma un esperimento in numeri: a ogni esito associa un valore. Qui impari a descriverla con la distribuzione, a riassumerla con media e varianza e a capire perché la «speranza matematica» dice chi vince davvero, a lungo andare, in una lotteria o al casinò.

Lancia due dadi e guarda la somma. L'esito dell'esperimento è una coppia come $(3,5)$, ma ciò che ti interessa è un numero: 8. Una variabile aleatoria è esattamente questo: una regola che associa un numero a ogni esito. La indichiamo con $X$: prima del lancio non sappiamo quale valore prenderà, ma sappiamo con quale probabilità prende ciascuno.

La distribuzione di probabilità è la tabella che elenca i valori possibili $x_i$ con le rispettive probabilità $p_i=P(X=x_i)$. Per la somma di due dadi i valori vanno da 2 a 12: $P(X=2)=1/36$, $P(X=7)=6/36$, $P(X=12)=1/36$. Due controlli: ogni $p_i\ge 0$ e $\sum p_i=1$, perché qualche valore deve uscire per forza. La funzione di ripartizione $F(x)=P(X\le x)$ accumula queste probabilità: è una scala che sale da 0 a 1 e risponde a domande come «qual è la probabilità di fare al massimo 4?» ($F(4)=6/36$).

Ora il cuore: valore atteso o media $\mu=E[X]=\sum x_i p_i$. Perché proprio questa formula? Immagina di ripetere il lancio $N$ volte, con $N$ enorme. Il valore $x_i$ esce circa $N p_i$ volte, perché le frequenze relative si avvicinano alle probabilità. La media aritmetica dei risultati è allora $\frac{1}{N}\sum x_i\,(N p_i)=\sum x_i p_i$. Quindi $E[X]$ è la media pesata a lungo andare: non è il valore «che ti aspetti al prossimo lancio», ma ciò a cui tende la media di molte ripetizioni.

La media da sola nasconde troppo: due lotterie possono avere la stessa $\mu$ e rischi completamente diversi. La varianza misura quanto i valori si disperdono attorno alla media:

Si eleva al quadrato perché gli scarti $x_i-\mu$ pesati con le $p_i$ sommano sempre a 0: i positivi cancellano i negativi. La seconda forma si ottiene sviluppando il quadrato ed è più comoda nei conti. La deviazione standard $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ riporta la misura nell'unità di $X$: è «di quanto $X$ si allontana tipicamente» dalla media.

Due proprietà da capire, non da imparare: $E[aX+b]=aE[X]+b$ e $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$. Aggiungere $b$ sposta tutti i valori in blocco: la media si sposta, ma le distanze reciproche no, quindi la dispersione resta identica. Moltiplicare per $a$ dilata gli scarti di $a$, e i loro quadrati di $a^2$. Con due variabili, la media della somma è sempre la somma delle medie, $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$; per la varianza vale $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$ se $X$ e $Y$ sono indipendenti: se fossero legate la formula in generale non vale più (ad esempio con $Y=X$ la dispersione crescerebbe di più).

Applicazione: un gioco è equo quando il guadagno netto ha valore atteso zero. Nei giochi d'azzardo la speranza matematica del giocatore è sempre negativa: ogni euro puntato alla roulette europea «rende» in media circa $-0{,}027$ euro, perché lo zero sbilancia le probabilità a favore del banco. Nessuna strategia cambia $E[X]$: cambia solo la varianza, cioè quanto in fretta perdi.