Derivate: come si fa, formule ed esempio svolto

Sai già calcolare una derivata con le regole; qui scopri che cosa stai calcolando. La derivata nasce da una domanda concreta: quanto in fretta cambia una grandezza in un istante? La risposta passa per il rapporto incrementale, che è una velocità media, e per il limite che la trasforma in velocità istantanea.

Velocità media e rapporto incrementale. Un'auto percorre 150 km in 2 ore: velocità media 75 km/h. Non dice quanto andava alle 10:37, dice quanto spazio ha coperto in media per ogni ora. Lo schema vale per qualunque grandezza $y=f(x)$: se $x$ passa da $x_0$ a $x_0+h$, la variazione è $\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)$ e il rapporto incrementale $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ è il tasso medio di variazione: quanto cambia $y$ per ogni unità di $x$ in quel tratto. Una popolazione che passa da 1000 a 1300 individui in 3 anni cresce in media di 100 individui l'anno. Sul grafico è la pendenza della secante per $(x_0,f(x_0))$ e $(x_0+h,f(x_0+h))$: la stessa formula della pendenza di una retta.

Il problema: l'istante. Una media non descrive un istante: in quelle 2 ore l'auto ha anche frenato e accelerato. Ma dividere per un intervallo nullo è impossibile, $0/0$ non ha senso. L'idea di Newton e Leibniz aggira l'ostacolo: calcola la velocità media su intervalli sempre più piccoli e guarda dove tende. Se i valori si stabilizzano, quel numero è la velocità istantanea. In simboli è un limite:

La derivata in $x_0$ è questo limite, quando esiste finito. Non è una divisione per zero: $h$ non è mai zero, si avvicina a zero, e il rapporto ha un valore preciso per ogni $h\neq 0$.

Un calcolo dalla definizione. Prendi $f(x)=x^2$ in un generico $x_0$. Rapporto incrementale: $\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=\frac{2x_0h+h^2}{h}=2x_0+h$. Dividere per $h$ è lecito perché $h\neq 0$, e la semplificazione scioglie proprio la forma $0/0$. Ora $h\to 0$: il limite è $2x_0$. Ecco da dove viene la regola $D[x^2]=2x$: non è un dogma, è il risultato di questo limite. Le altre regole nascono allo stesso modo (sezione «Le regole di derivazione e il loro perché»).

Significato fisico. Se $s(t)$ è la posizione, $s'(t)$ è la velocità istantanea; derivando ancora, $v'(t)=a(t)$ è l'accelerazione. Se $q(t)$ è la carica passata attraverso una sezione del filo, $i=\frac{dq}{dt}$ è l'intensità di corrente. La domanda è sempre la stessa: a che ritmo sta cambiando questa grandezza adesso. Le unità lo ricordano: derivare metri rispetto a secondi dà m/s, coulomb rispetto a secondi dà ampere.

Le notazioni. $f'(x)$ (Lagrange) è compatta; $\dot{y}$ (Newton) si usa in fisica quando la variabile è il tempo; $\frac{dy}{dx}$ (Leibniz) è la più parlante: è $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ con le lettere cambiate per ricordare che sei passato al limite. Non è una frazione: $dy$ e $dx$ da soli non sono numeri, e $\frac{dy}{dx}$ è un simbolo unico. Però si comporta come una frazione in modo utile: la regola della catena $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ sembra una semplificazione di $du$, e $\frac{dq}{dt}$ dice subito che l'unità è coulomb al secondo. Usala come promemoria, non come licenza per dividere.