Applicazioni dell'integrale: come si fa, formule ed esempio svolto

L'integrale definito non è «l'area» e basta: è un'area con segno, e da questa idea nascono tutti gli strumenti pratici. Qui capisci perché sotto l'asse il risultato viene negativo, come si misura la zona tra due curve, cosa dice davvero il teorema fondamentale e che cosa significa il valore medio di una funzione.

L'area con segno. $\int_a^b f(x)\,dx$ è il limite di somme $f(x_i)\,\Delta x$: dove $f$ è negativa ogni termine è negativo, e il risultato è un'area «in rosso». Non è un difetto: è la stessa logica per cui uno spostamento all'indietro conta negativo. Se ti serve l'area geometrica (quella che colori), devi spezzare nei punti in cui $f$ cambia segno e sommare i valori assoluti: $\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0$, ma la regione colorata misura $\tfrac12$.

Area tra due curve. Se $f \ge g$ su $[a,b]$, ogni fettina verticale è alta $f(x)-g(x)$, quindi $A=\int_a^b (f-g)\,dx$. Qui il segno non conta più: conta chi sta sopra. Gli estremi sono quasi sempre le intersezioni, che trovi risolvendo $f(x)=g(x)$; se le curve si scavalcano, spezzi l'integrale nel punto di scavalco. Quando la regione è delimitata da curve del tipo $x=h(y)$ (una parabola «sdraiata», per esempio) conviene integrare in $dy$: fette orizzontali, larghe $x_{\text{destra}}-x_{\text{sinistra}}$.

La funzione integrale. Fissa $a$ e lascia correre l'estremo superiore: $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ è l'area accumulata da $a$ fino a $x$. Il teorema fondamentale dice che, se $f$ è continua, $F'(x)=f(x)$. Perché? Spostando $x$ di un piccolo $h$ aggiungi una striscia sottile di base $h$ e altezza circa $f(x)$: l'area cresce di circa $f(x)\,h$, cioè alla velocità $f(x)$. L'area cresce alla velocità dell'altezza. È lo stesso teorema che ti permette di calcolare $\int_a^b f = G(b)-G(a)$ con una primitiva $G$: la differenza tra due valori della funzione integrale è l'area in mezzo.

Valore medio. Per una lista di numeri la media è la somma diviso il numero dei termini; per una funzione su $[a,b]$ la «somma» è l'integrale e il «numero dei termini» è la lunghezza $b-a$:

Immagine concreta: è l'altezza del rettangolo equivalente, quello di base $b-a$ che ha la stessa area della regione sotto $f$. Il teorema della media aggiunge che, se $f$ è continua, quell'altezza viene toccata davvero: esiste $c\in[a,b]$ con $f(c)=\bar f$. Il motivo è il teorema dei valori intermedi: $\bar f$ sta tra il minimo e il massimo di $f$, e una funzione continua passa per ogni valore compreso tra i due.

Lunghezza di un arco. Spezza la curva in trattini: ciascuno ha base $dx$ e altezza $dy=f'(x)\,dx$, e per Pitagora è lungo $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Sommando i trattini: $L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Questo integrale è spesso laborioso (già per la parabola spuntano i logaritmi) e a volte non si chiude affatto con le funzioni elementari: è una delle ragioni per cui esistono i metodi numerici della sezione 3.