Matematica · 4ª superiore

Geometria nello spazio: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di geometria nello spazio con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Rette e piani nello spazio

Nel piano due rette o si incontrano o sono parallele: non c'è una terza via. Nello spazio sì, e non è l'unica novità. Questa sezione costruisce il vocabolario con cui si descrivono i solidi: senza sapere che cosa significa «perpendicolare a un piano» non puoi nemmeno definire l'altezza di una piramide.

Gli assiomi dello spazio. Nel piano due punti fissano una retta. Nello spazio, per fissare un piano servono tre punti non allineati: per questo uno sgabello a tre gambe non traballa mai, una sedia a quattro sì. Se i tre punti sono allineati, il piano può ruotare attorno alla loro retta come una porta sui cardini: infiniti piani, il fascio di piani.

Retta e retta. Oltre a incidenti e parallele, nello spazio c'è una terza possibilità: le rette sghembe, che non si incontrano e non sono parallele. Guarda lo spigolo verticale dell'aula e lo spigolo tra soffitto e parete di fronte: non si toccano, ma non sono nemmeno parallele. Il motivo: nessun piano le contiene entrambe, perché in un piano comune sarebbero per forza incidenti o parallele. Sghembe vuol dire «non complanari».

Retta e piano. Tre casi: retta contenuta nel piano, parallela (nessun punto in comune), incidente (un solo punto). Non c'è un quarto caso: se una retta ha due punti in un piano, per assioma ci sta tutta.

Piano e piano. Due piani distinti o sono paralleli o si tagliano lungo una retta: mai in un solo punto. Le pareti dell'aula si incontrano lungo uno spigolo, non in un punto.

Perpendicolarità retta-piano. Una retta è perpendicolare a un piano se è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il suo piede. Infinite verifiche? No: il teorema chiave dice che bastano due rette incidenti. Perché? Ogni altra direzione del piano è combinazione delle due, $\vec w=x\vec u+y\vec v$ , e allora $\vec r\cdot\vec w=x\,\vec r\cdot\vec u+y\,\vec r\cdot\vec v=0$ . È la matita che buca il foglio: dritta rispetto a due righe, dritta rispetto a tutte.

Teorema delle tre perpendicolari. Sia $r\perp\alpha$ con piede $P$ ; dal piede traccia la perpendicolare $PH$ a una retta $s$ del piano. Allora per ogni punto $A$ di $r$ anche $AH\perp s$ . È il teorema che rende perpendicolare allo spigolo di base l'apotema di una piramide retta.

Distanza punto-piano. È la lunghezza di $PH$ , con $H$ piede della perpendicolare da $P$ (la proiezione ortogonale). È la più corta tra tutte le $PQ$ con $Q$ nel piano, perché ogni altro $PQ$ è ipotenusa del triangolo rettangolo $PHQ$ . Ogni altezza di un solido è una distanza punto-piano.

Diedri. Due semipiani con lo stesso bordo formano un diedro, l'angolo «tra due pareti». Lo si misura con la sezione normale: un taglio con un piano perpendicolare allo spigolo. Perché proprio quello? Un taglio obliquo dà un angolo che dipende dall'inclinazione del taglio; quello perpendicolare dà sempre lo stesso valore, in qualunque punto dello spigolo.

Angolo tra retta e piano. Si proietta ortogonalmente la retta sul piano e si prende l'angolo tra la retta e la sua proiezione $r'$ . È il più piccolo tra tutti gli angoli che la retta forma con le rette del piano per il suo piede. Se $r\perp\alpha$ la proiezione è un punto e l'angolo è $90^\circ$ .

Le formule che servono

Angolo tra retta e piano (r' proiezione ortogonale di r)

\widehat{r\alpha} = \widehat{r\,r'}

Teorema delle tre perpendicolari

PH \perp \alpha,\ HK \perp r,\ r \subset \alpha \ \Rightarrow\ PK \perp r

Relazione di Eulero (facce, vertici, spigoli)

F + V = S + 2

Prisma retto: superficie laterale (2p perimetro di base)

S_{lat} = 2p \cdot h

Prisma: superficie totale e volume

S_{tot} = S_{lat} + 2S_b, \quad V = S_b \cdot h

Parallelepipedo rettangolo: diagonale

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Piramide regolare: apotema (r apotema della base)

a = \sqrt{h^2 + r^2}

Piramide: superficie laterale e volume (p semiperimetro di base)

S_{lat} = p \cdot a, \quad V = \frac{1}{3} S_b \cdot h

Cilindro

S_{lat} = 2\pi r h, \quad S_{tot} = 2\pi r (r + h), \quad V = \pi r^2 h

Cono: apotema e superficie laterale

a = \sqrt{r^2 + h^2}, \quad S_{lat} = \pi r a

Cono: superficie totale e volume

S_{tot} = \pi r (r + a), \quad V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Tronco di cono (a apotema del tronco)

S_{lat} = \pi (r_1 + r_2)\, a, \quad V = \frac{1}{3} \pi h \left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2\right)

Sfera

S = 4\pi R^2, \quad V = \frac{4}{3} \pi R^3

Calotta e segmento sferico a una base (altezza h)

S_{cal} = 2\pi R h, \quad V_{seg} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h)

Principio di Cavalieri

A_1(z) = A_2(z) \text{ per ogni } z \ \Rightarrow\ V_1 = V_2

Solidi simili con rapporto di similitudine k

\frac{S'}{S} = k^2, \quad \frac{V'}{V} = k^3

Un esempio svolto

Esercizio Un cono è inscritto in una sfera di raggio $R = 5$ cm e ha raggio di base $r = 4$ cm. Trova altezza, apotema, superficie totale e volume del cono più alto e il rapporto $V_{cono} : V_{sfera}$ .

Taglio con un piano per l'asse: la sezione è un cerchio di raggio 5 con dentro un triangolo isoscele di base $2r = 8$ . Il centro $O$ sta sull'altezza e la sua distanza dalla base è $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$ cm.
Altezza del cono più alto: il vertice sta dalla parte opposta alla base rispetto a $O$ , quindi $h = R + d = 5 + 3 = 8$ cm (l'altro cono avrebbe $h = 5 - 3 = 2$ cm).
Apotema, con Pitagora nel triangolo altezza-raggio-apotema: $a = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94$ cm.
Superfici: $S_{lat} = \pi r a = 16\sqrt{5}\,\pi \approx 112{,}4$ cm²; $S_{tot} = \pi r (r + a) = 16\pi(1 + \sqrt{5}) \approx 162{,}7$ cm².
Volume: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 8 = \frac{128}{3}\pi \approx 134{,}0$ cm³.
Rapporto con la sfera: $V_{sfera} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{500}{3}\pi$ , quindi $\frac{V_{cono}}{V_{sfera}} = \frac{128}{500} = \frac{32}{125} = 0{,}256$ : il cono occupa circa un quarto della sfera.

Risultato $h = 8$ cm, $a = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94$ cm, $S_{tot} = 16\pi(1 + \sqrt{5}) \approx 162{,}7$ cm², $V = \frac{128}{3}\pi \approx 134{,}0$ cm³; $V_{cono} : V_{sfera} = 32 : 125 = 0{,}256$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che due rette che non si incontrano siano parallele. In realtà nello spazio possono essere sghembe: parallele solo se complanari.
Credere che i due apotemi coincidano. In realtà uno è l'altezza di una faccia laterale, l'altro il raggio del cerchio inscritto nella base.
Credere che nel cono $S_{lat}=\pi r h$ . In realtà serve l'apotema: $S_{lat}=\pi r a$ , perché srotolando ottieni un settore di raggio $a$ .
Credere che nel prisma obliquo l'altezza sia lo spigolo laterale. In realtà è la distanza fra i piani delle basi, perpendicolare a entrambi.
Credere che una retta perpendicolare a UNA retta del piano sia perpendicolare al piano. In realtà servono due rette incidenti del piano.
Credere che nel prisma obliquo l'altezza sia lo spigolo laterale. In realtà è la distanza tra i piani delle basi, minore dello spigolo.
Credere che raddoppiando il raggio di una sfera il volume raddoppi. In realtà $V\propto r^3$ : diventa otto volte, la superficie quattro.
Credere che Cavalieri richieda sezioni congruenti. In realtà basta che siano equivalenti: sfera e anticlessidra hanno sezioni diverse.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di geometria nello spazio è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Rette e piani nello spazioNello spazio due rette possono essere sghembe, e «perpendicolare a un piano» vuol dire a tutte le sue rette, ma basta provarlo su due rette incidenti: da qui angoli e diedri.
Poliedri: prismi, parallelepipedi, piramidiI poliedri sono i solidi «a facce piatte»: scatole, piramidi, cristalli. Qui impari a contarne gli elementi, a calcolare superfici e volumi e, soprattutto, a leggere ogni formula come un Pitagora nello spazio. Il fattore $\frac13$ delle piramidi lo anticipiamo soltanto: la dimostrazione arriva con Cavalieri.
Solidi di rotazione: cilindro, cono, sferaCilindro, cono e sfera non sono tre solidi a caso: nascono tutti da una figura piana che gira attorno a un asse. Se tieni a mente questa origine, le formule di superfici e volumi smettono di essere da imparare a memoria e diventano cose che ricostruisci: un rettangolo srotolato, un settore di cerchio, il cilindro di Archimede.
Volumi, equivalenza e principio di CavalieriDue solidi sono equivalenti quando hanno lo stesso volume, anche con forme diverse. Il principio di Cavalieri è lo strumento per dimostrarlo senza integrali: confronti le sezioni, fetta per fetta. Con questa sola idea ottieni il prisma obliquo, il terzo della piramide e il volume della sfera.

Argomenti collegati

Prima di questo

Mat 2ªQuadrilateri e cerchio Mat 2ªSimilitudine, Pitagora ed Euclide Mat 4ªTrigonometria

Dopo, prosegui con

Mat 5ªGeometria analitica nello spazio Mat 5ªIntegrali

Stesso anno

Mat 4ªEsponenziali e logaritmi Mat 4ªGoniometria Mat 4ªNumeri complessi Mat 4ªCalcolo combinatorio

Tutti i 70 argomenti di matematica e fisica →

Ora prova tu.

Un esercizio vero di geometria nello spazio, corretto un passo alla volta.

Fai un esercizio di geometria nello spazio con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.