Matematica · 2ª superiore

Quadrilateri e cerchio: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di quadrilateri e cerchio con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Il parallelogramma

Immagina di prendere due coppie di binari, ciascuna coppia con le rotaie sempre alla stessa distanza. Incrociandole ottieni un parallelogramma: una figura in cui il parallelismo dei lati non è un dettaglio, ma il seme da cui germoglia ogni altra proprietà.

Un parallelogramma nasce da una sola richiesta: i due lati opposti sono paralleli, e così anche gli altri due. Sembra poco, eppure questa condizione è talmente forte da costringere tutto il resto. Perché? Perché il parallelismo, unito al fatto che una diagonale taglia la figura, mette in gioco gli angoli alterni interni: la diagonale diventa una trasversale tra rette parallele, e gli angoli che si formano da una parte e dall'altra sono uguali. Questo basta a dimostrare che i due triangoli in cui la diagonale divide il parallelogramma sono congruenti.

Da questa congruenza cade a cascata tutto ciò che sappiamo del parallelogramma: i lati opposti sono uguali, gli angoli opposti sono uguali, e due angoli consecutivi sono supplementari (la loro somma è $180^\circ$ ), perché sono angoli coniugati interni tra le stesse parallele tagliate da un lato. Non serve memorizzare quattro regole separate: sono quattro volti dello stesso fatto.

La proprietà più elegante riguarda le diagonali. In un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà: il loro punto di incontro è il punto medio di entrambe. È il cuore simmetrico della figura, il suo centro di simmetria: se ruoti il parallelogramma di mezzo giro ( $180^\circ$ ) attorno a quel punto, torna esattamente su se stesso. Questa idea del "centro" è ciò che distingue davvero il parallelogramma da un quadrilatero qualunque.

Un'ultima intuizione: il parallelogramma è la forma naturale dell'area come "base per altezza". Se lo immagini come un rettangolo "spinto di lato", capisci perché $A=b\cdot h$ : tagliando un triangolo da un lato e incollandolo dall'altro, il parallelogramma si raddrizza in un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza. Attenzione però: $h$ è la distanza tra i due lati paralleli, non la lunghezza del lato obliquo.

Le formule che servono

Area parallelogramma

A = b \cdot h

Area rombo (diagonali)

A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Area trapezio

A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

Diagonale del quadrato

d = l\sqrt{2}

Circonferenza

C = 2\pi r

Area del cerchio

A = \pi r^2

Lunghezza arco

\ell = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r

Area settore circolare

A_{set} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2

Angolo al centro / alla circonferenza

\widehat{AOB} = 2\,\widehat{ACB}

Quadrilatero inscritto (angoli opposti)

\hat{A} + \hat{C} = \hat{B} + \hat{D} = 180^\circ

Un esempio svolto

Esercizio Un trapezio isoscele ha base maggiore $B = 14$ cm, base minore $b = 6$ cm e lato obliquo $\ell = 5$ cm. Calcola l'area del trapezio.

Nel trapezio isoscele la base maggiore sporge dello stesso tratto da entrambi i lati; ogni sporgenza vale $\dfrac{B - b}{2} = \dfrac{14 - 6}{2} = 4$ cm.
Considero il triangolo rettangolo formato dal lato obliquo (ipotenusa $5$ cm), dalla sporgenza ( $4$ cm, cateto orizzontale) e dall'altezza $h$ (cateto verticale).
Applico il teorema di Pitagora: $h = \sqrt{\ell^2 - 4^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ cm.
Applico la formula dell'area del trapezio: $A = \dfrac{(B + b)\cdot h}{2} = \dfrac{(14 + 6)\cdot 3}{2}$ .
Calcolo: $A = \dfrac{20 \cdot 3}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$ cm $^2$ .

Risultato L'area del trapezio è $A = 30$ cm $^2$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che i lati opposti possano essere paralleli ma non necessariamente uguali: nel parallelogramma il parallelismo implica già l'uguaglianza.
Trattare rettangolo, rombo e quadrato come figure separate invece che come parallelogrammi specializzati.
Chiamare trapezio un parallelogramma: nel trapezio è parallela una sola coppia di lati, non entrambe.
Usare "cerchio" e "circonferenza" come sinonimi: uno è la superficie, l'altra è la linea che la delimita.
Scambiare il fattore: l'angolo al centro è il doppio, quello alla circonferenza è la metà, non viceversa.
Credere che una simmetria assiale si ottenga facendo scivolare la figura nel piano. In realtà serve un ribaltamento: cambia il verso.
Pensare che le diagonali siano uguali fra loro: nel parallelogramma si dimezzano, ma sono uguali solo se è anche un rettangolo.
Attribuire al rettangolo diagonali perpendicolari (lo sono nel rombo) o al rombo diagonali uguali (lo sono nel rettangolo).

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di quadrilateri e cerchio è divisa in 6 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Il parallelogrammaUn parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. Da questa sola condizione discende tutto: lati opposti uguali, angoli opposti uguali e diagonali che si dimezzano in un centro di simmetria.
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