Matematica · 1ª superiore

Geometria dei triangoli: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di geometria dei triangoli con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Enti primitivi e assiomi

Prova a definire cos'è un punto. Ci provi e scopri che ogni parola che usi presuppone qualcosa di ancora più semplice. A un certo punto bisogna fermarsi e dire: questo lo accettiamo così com'è. Da qui nasce tutta la geometria.

Ogni discorso sensato deve partire da qualcosa di non ulteriormente definibile, altrimenti si cade in un regresso infinito: definisco A con B, B con C, C con D, e non finisco mai. Euclide, e poi la matematica moderna, ha tagliato questo nodo con una scelta coraggiosa: alcuni oggetti — il punto, la retta, il piano — non si definiscono affatto. Sono gli enti primitivi. Non diciamo cosa sono, diciamo solo come si comportano, attraverso gli assiomi che li mettono in relazione.

Le descrizioni intuitive — il punto è ciò che non ha parti né dimensione, la retta è illimitata nelle due direzioni e senza spessore, il piano è una superficie che si estende all'infinito — non sono vere definizioni: sono immagini che aiutano l'intuizione. La sostanza vera sta negli assiomi (o postulati), le affermazioni che accettiamo come vere senza dimostrarle. Per esempio: per due punti distinti passa una e una sola retta. Non lo dimostriamo, lo poniamo come regola del gioco.

È come inventare gli scacchi. Nessuno dimostra che l'alfiere si muove in diagonale: è una regola di partenza. Ma una volta fissate le regole, tutte le partite possibili — tutte le strategie, tutte le combinazioni — discendono da lì. Gli assiomi sono le regole; i teoremi sono le conseguenze necessarie che si possono giocare rispettandole.

La forza di questa impostazione è che rende la geometria oggettiva: due persone che accettano gli stessi assiomi arriveranno necessariamente alle stesse conclusioni. Non c'è spazio per l'opinione. E c'è di più: cambiando un assioma (per esempio quello delle parallele) nascono geometrie diverse, tutte internamente coerenti. Gli assiomi non sono verità calate dal cielo, sono scelte fondative — e questo è uno dei pensieri più profondi di tutta la matematica.

Le formule che servono

Somma angoli interni

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Area (base e altezza)

A = \frac{b \cdot h}{2}

Teorema di Pitagora

i^2 = c_1^2 + c_2^2

Formula di Erone

A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}

Teorema dei seni

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

Teorema del coseno (Carnot)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

Area con due lati e angolo compreso

A = \frac{1}{2} a \, b \, \sin\gamma

Disuguaglianza triangolare

|b - c| < a < b + c

Un esempio svolto

Esercizio In un triangolo i lati misurano $a = 13$ cm, $b = 14$ cm e $c = 15$ cm. Calcola l'area del triangolo e la lunghezza dell'altezza relativa al lato $b$ .

Calcolo il semiperimetro: $p = \dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{13+14+15}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$ cm.
Applico la formula di Erone: $A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)}$ .
Sostituisco i valori: $A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ cm $^2$ .
Per l'altezza relativa a $b$ uso $A = \dfrac{b \cdot h_b}{2}$ , da cui $h_b = \dfrac{2A}{b} = \dfrac{2 \cdot 84}{14} = \dfrac{168}{14} = 12$ cm.

Risultato L'area del triangolo è $A = 84$ cm $^2$ e l'altezza relativa al lato $b$ è $h_b = 12$ cm.

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che «primitivo» significhi «semplice da capire»: significa «non definibile con altri termini», è una scelta logica, non un giudizio di difficoltà.
Usare il disegno come prova: una figura può suggerire un'idea, ma non dimostra nulla.
Dimenticare la disuguaglianza triangolare: con lati $2$ , $3$ e $10$ nessun triangolo esiste, perché $10>2+3$ .
Applicare il primo criterio con un angolo non compreso tra i due lati: la congruenza non è più garantita (il caso lato-lato-angolo è ambiguo).
Credere che i quattro punti notevoli coincidano sempre: coincidono tutti solo nel triangolo equilatero.
Confondere assioma e teorema: l'assioma si accetta senza prova, il teorema si dimostra a partire dagli assiomi.
Scambiare ipotesi e tesi: sono ruoli diversi e non intercambiabili.
Confondere altezza e mediana: l'altezza è perpendicolare al lato, la mediana raggiunge il punto medio; coincidono solo in casi particolari (ad esempio dal vertice dell'isoscele).

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di geometria dei triangoli è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Enti primitivi e assiomiLa geometria si fonda su enti primitivi — punto, retta, piano — che non si definiscono ma si accettano, e su assiomi, proposizioni assunte come vere senza dimostrazione. Sono le fondamenta invisibili su cui tutto il resto poggia.
Il metodo ipotetico-deduttivoIn geometria non si dice mai «secondo me è così». Si dice: «se accetti questo, allora sei costretto ad accettare anche quello». È una macchina che trasforma verità di partenza in verità nuove, senza mai aggiungere fede.
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