Matematica · 1ª superiore

Numeri naturali e interi: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di numeri naturali e interi con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Gli insiemi N e Z

Prima di essere simboli, i numeri naturali sono un gesto antichissimo: mettere in corrispondenza una pecora con un sasso, un dito, un segno. Contare è questo. Ma dov'è che i naturali finiscono e cominciano gli interi?

L'insieme $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ non è un mucchio disordinato: è una catena. Ogni numero ha un unico numero che lo segue, il suo successore, ottenuto aggiungendo $1$ . Partendo da $0$ e ripetendo questo gesto puoi raggiungere qualsiasi naturale, per quanto grande. È l'idea profonda dietro $\mathbb{N}$ : pochi ingredienti (uno zero e un'operazione di "passo avanti") generano un'infinità ordinata. Non esiste un "ultimo" naturale, perché di ognuno puoi sempre fare il successore.

Qui però c'è una tensione. In $\mathbb{N}$ posso sempre andare avanti, ma non sempre indietro: $3-5$ non ha risposta tra i naturali, perché "togliere cinque a tre" non corrisponde a nessun sasso rimasto. È un limite strutturale, non un capriccio. Per superarlo la matematica fa una mossa elegante: inventa i numeri negativi, immagini speculari dei positivi, e li mette dall'altra parte dello zero.

Nasce così $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ (la $Z$ viene dal tedesco Zahlen, "numeri"). $\mathbb{Z}$ contiene $\mathbb{N}$ : ogni naturale è anche un intero, ma non viceversa. Lo zero perde il ruolo di "inizio" e diventa il centro simmetrico, il punto in cui positivi e negativi si specchiano. Da fila con un capo, i numeri diventano una fila senza estremi.

Le formule che servono

Insieme dei naturali

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}

Insieme degli interi

\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}

Valore assoluto

|a| = \begin{cases} a & \text{se } a \ge 0 \\ -a & \text{se } a < 0 \end{cases}

Regola dei segni (prodotto)

(+)\cdot(+)=+,\quad (-)\cdot(-)=+,\quad (+)\cdot(-)=-,\quad (-)\cdot(+)=-

Divisione con resto

a = b \cdot q + r, \qquad 0 \le r < |b|

Proprieta delle potenze (stessa base)

a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Potenza di potenza

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo

\mathrm{MCD}(a,b)\cdot \mathrm{mcm}(a,b) = |a \cdot b|

Criterio di divisibilita per 3

3 \mid n \iff 3 \mid (\text{somma delle cifre di } n)

Proprieta distributiva

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Un esempio svolto

Esercizio Calcola la seguente espressione nell'insieme $\mathbb{Z}$ degli interi relativi: $(-3) \cdot (5 - 8) + 2^3 - |-4|$ .

Risolvo prima la parentesi tonda: $5 - 8 = -3$ . L'espressione diventa $(-3) \cdot (-3) + 2^3 - |-4|$ .
Calcolo la potenza e il valore assoluto: $2^3 = 8$ e $|-4| = 4$ . Ora ho $(-3) \cdot (-3) + 8 - 4$ .
Eseguo la moltiplicazione usando la regola dei segni $(-)\cdot(-)=+$ : $(-3) \cdot (-3) = +9$ . Resta $9 + 8 - 4$ .
Eseguo addizioni e sottrazioni da sinistra a destra: $9 + 8 = 17$ , poi $17 - 4 = 13$ .

Risultato Il valore dell'espressione e $13$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che $0$ non sia un numero naturale: nella convenzione scolastica italiana $0\in\mathbb{N}$ , è l'elemento di partenza.
Credere che la sottrazione sia commutativa: $5-3\ne 3-5$ , l'ordine cambia tutto.
Dire che $-100>-2$ perché $100>2$ : sui negativi l'ordine si inverte, $-100<-2$ .
Considerare $1$ un numero primo: ha un solo divisore, quindi per convenzione non è primo (ammetterlo romperebbe l'unicità della scomposizione).
Ridurre $|x|$ a "togli il segno meno": con le variabili, se $x<0$ allora $-x>0$ , quindi $|x|=-x$ non contiene affatto un meno visibile.
Confondere "più grande" con "più a destra" solo per il numero di cifre: in $\mathbb{Z}$ un negativo come $-100$ è comunque piccolo, benché scritto con molte cifre.
Dimenticare che $\mathbb{N}$ non è chiuso per sottrazione: è la ragione stessa dell'esistenza di $\mathbb{Z}$ .
Dimenticare di invertire il verso quando si moltiplica o divide una disuguaglianza per un numero negativo.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di numeri naturali e interi è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Gli insiemi N e Z $\mathbb{N}$ è l'insieme dei numeri per contare, costruito partendo da $0$ e aggiungendo sempre $1$ (il successore). $\mathbb{Z}$ nasce quando aggiungiamo i numeri negativi per poter sempre sottrarre: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ .
Operazioni e proprietàSommare e moltiplicare sembrano gesti banali, ma nascondono una grammatica. Le proprietà delle operazioni non sono regole da memorizzare: sono la descrizione di come i numeri si comportano quando li combini, e ci dicono quali libertà abbiamo.
L'ordinamentoChiedersi "quale numero è più grande" sembra scontato, ma sotto c'è un'idea potente: i numeri non sono solo etichette, sono ordinati. E quest'ordine ha una forma geometrica: la retta.
Divisibilità, primi, MCD e mcmSe guardi i naturali solo come una fila, ne cogli metà. L'altra metà è una trama nascosta: chi divide chi. È qui che vivono i numeri primi, i veri "atomi" dell'aritmetica.
Interi e valore assolutoAbbiamo aperto la porta ai negativi per poter sempre sottrarre. Ma cosa significa davvero un numero negativo, e come misuriamo "quanto è grande" un numero se dimentichiamo da che parte sta? Qui entra in scena il valore assoluto.

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