Matematica · 1ª superiore

Scomposizione e frazioni algebriche: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di scomposizione e frazioni algebriche con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Perché si scompone

Perché ci ostiniamo a trasformare una somma tranquilla in un prodotto? Perché il prodotto è l'unica forma che sa "tradirsi": ci dice subito quando vale zero e quando si può tagliare via qualcosa.

Immagina la differenza tra dire "la somma di due numeri fa zero" e "il prodotto di due numeri fa zero". Nel primo caso non sai nulla: potrebbero essere $3$ e $-3$ , oppure $100$ e $-100$ . Nel secondo caso, invece, sai tutto: se un prodotto fa zero, allora almeno uno dei fattori è zero. Questa è la legge di annullamento del prodotto, ed è il motore segreto di quasi tutte le equazioni che risolverai. Ecco perché scomponiamo: trasformare $x^2-5x+6$ in $(x-2)(x-3)$ significa passare da un'espressione muta a una che confessa le sue radici.

C'è un secondo motivo, altrettanto profondo. Nelle frazioni, un fattore che compare sia sopra sia sotto si può semplificare, ma solo se è davvero un fattore, cioè qualcosa moltiplicato, non addizionato. Non puoi semplificare $\frac{x+2}{x+3}$ togliendo la $x$ , perché lì la $x$ è sommata, non moltiplicata. Ma se scomponi numeratore e denominatore in prodotti, allora i fattori comuni si elidono legittimamente.

Scomporre, quindi, non è un esercizio fine a sé stesso: è il gesto che rende un polinomio manovrabile. Somma e prodotto contengono la stessa informazione — il valore del polinomio non cambia affatto — ma solo il prodotto la rende visibile. Scomporre è accendere la luce su una struttura che c'era già.

Le formule che servono

Raccoglimento totale

ab + ac = a(b+c)

Raccoglimento parziale

ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)

Differenza di quadrati

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

Quadrato di binomio

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Quadrato di trinomio

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a+b+c)^2

Cubo di binomio

a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3 = (a \pm b)^3

Somma di cubi

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

Differenza di cubi

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

Trinomio caratteristico

x^2 + sx + p = (x + x_1)(x + x_2),\quad x_1 + x_2 = s,\ x_1 \cdot x_2 = p

Trinomio di II grado (con radici)

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Un esempio svolto

Esercizio Scomporre in fattori il polinomio $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$ .

Raggruppo i quattro termini a due a due: $(x^3 - 2x^2) + (-9x + 18)$ .
Raccolgo a fattor comune in ciascun gruppo: $x^2(x - 2) - 9(x - 2)$ .
Raccolgo il fattore comune $(x-2)$ : $(x - 2)(x^2 - 9)$ .
Riconosco in $x^2 - 9$ una differenza di quadrati: $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ .
Verifica: $(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$ , e $(x^2+x-6)(x-3) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18$ , che torna.

Risultato $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x - 2)(x + 3)(x - 3)$

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che scomporre serva "a semplificare i calcoli": serve invece a cambiare forma, da somma a prodotto, per poter usare l'annullamento e la semplificazione.
Raccogliere, nel totale, un fattore che non è presente in TUTTI i termini.
Tentare di scomporre la SOMMA di due quadrati $a^2+b^2$ nei reali: non è possibile (a differenza della differenza).
Scambiare somma e prodotto: i due numeri devono avere prodotto uguale al termine noto e somma uguale al coefficiente centrale.
Semplificare prima di scrivere le condizioni di esistenza, perdendo così i valori esclusi (come $x=1$ nell'esempio).
Applicare la legge di annullamento a una somma: da $a+b=0$ NON segue $a=0$ oppure $b=0$ .
Dimenticare il termine $+1$ quando si raccoglie un fattore uguale a un intero addendo: $x^2+x=x(x+1)$ , non $x\cdot x$ .
Confondere il trinomio quadrato perfetto $a^2+2ab+b^2$ con un trinomio qualsiasi: il termine centrale deve essere ESATTAMENTE il doppio prodotto delle due basi.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di scomposizione e frazioni algebriche è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Perché si scomponeScomporre significa riscrivere una somma come un prodotto: da $a+b$ a $(\dots)\cdot(\dots)$ . Serve perché un prodotto "parla": si azzera solo quando un fattore è zero e si semplifica quando lo stesso fattore compare al numeratore e al denominatore di una frazione.
Raccoglimento: totale e parzialeIl raccoglimento non è una regola nuova: è la proprietà distributiva che tutti conoscono, semplicemente percorsa all'indietro. Il difficile non è il meccanismo, è avere l'occhio per il fattore comune.
I prodotti notevoli al contrarioHai imparato i prodotti notevoli per calcolare in fretta. Ora li userai come impronte digitali: riconoscere la forma del risultato ti riporta al prodotto che l'ha generato.
Trinomio speciale e regola di RuffiniQuando i prodotti notevoli non bastano, servono due strumenti più fini: per il secondo grado la caccia a "somma e prodotto", per i gradi superiori la regola di Ruffini, che fa parlare le radici.
Frazioni algebriche e condizioni di esistenzaUna frazione algebrica non è solo "un polinomio sopra un altro": è un oggetto che porta con sé un divieto. Dove il denominatore si annulla, l'espressione semplicemente non esiste.

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