Matematica · 2ª superiore

Equazioni di secondo grado: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di equazioni di secondo grado con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

La forma generale

Immagina una parabola disegnata su un foglio. La domanda "quando questa curva incontra l'asse orizzontale?" è, tradotta in algebra, un'equazione di secondo grado. Tutto nasce da lì.

Un'equazione di secondo grado è, nella sua forma generale, $ax^2+bx+c=0$ . Il cuore di tutto è quel piccolo simbolo $x^2$ : è la presenza del quadrato a renderla "di secondo grado" e a darle un comportamento profondamente diverso da una retta. Per questo la condizione $a\ne 0$ non è un dettaglio pignolo: se $a$ fosse zero il termine quadratico sparirebbe e resteremmo con una banale equazione di primo grado. Il coefficiente $a$ è il custode del grado dell'equazione.

I tre coefficienti hanno ruoli distinti. Il termine $a$ dà la "curvatura": se è positivo la parabola sorride verso l'alto, se è negativo è imbronciata verso il basso, e più è grande in valore assoluto più la curva è stretta. Il termine noto $c$ è dove la parabola taglia l'asse verticale (basta porre $x=0$ : si ottiene $y=c$ ). Il termine $b$ governa, insieme ad $a$ , dove si trova l'asse di simmetria e quindi la posizione orizzontale della curva.

Risolvere $ax^2+bx+c=0$ significa allora una cosa molto concreta e visiva: cercare gli zeri della funzione $y=ax^2+bx+c$ , cioè i punti in cui la parabola attraversa (o sfiora, o manca del tutto) l'asse delle $x$ . Questa immagine geometrica è la bussola: ogni cosa che diremo dopo — discriminante, numero di soluzioni, formula — è la traduzione algebrica di ciò che l'occhio già intuisce guardando dove sta la parabola rispetto all'asse.

È importante capire che "secondo grado" porta con sé una novità rispetto al primo grado: qui possono esistere due soluzioni. Una retta obliqua interseca l'asse una sola volta; una parabola può tagliarlo in due punti, sfiorarlo in uno solo, oppure passargli sopra o sotto senza toccarlo. Questa possibilità di zero, una o due soluzioni è la firma delle equazioni di secondo grado.

Le formule che servono

Forma normale

ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0

Formula risolutiva

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Discriminante

\Delta = b^2 - 4ac

Natura delle soluzioni

\Delta > 0 \Rightarrow \text{due reali distinte}; \quad \Delta = 0 \Rightarrow \text{una doppia}; \quad \Delta < 0 \Rightarrow \text{nessuna reale}

Formula ridotta

x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac}}{a}

Somma delle radici

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Prodotto delle radici

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Scomposizione del trinomio

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Equazione pura

ax^2 + c = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}

Equazione spuria

ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, \ x_2 = -\frac{b}{a}

Un esempio svolto

Esercizio Risolvi l'equazione di secondo grado $2x^2 - 5x - 3 = 0$ .

Individuo i coefficienti: $a = 2$ , $b = -5$ , $c = -3$ .
Calcolo il discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$ .
Poiché $\Delta = 49 > 0$ , ci sono due soluzioni reali distinte. Calcolo la radice: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$ .
Applico la formula risolutiva: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$ .
Calcolo le due soluzioni: $x_1 = \dfrac{5 + 7}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$ e $x_2 = \dfrac{5 - 7}{4} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$ .
Verifica con somma e prodotto: $x_1 + x_2 = 3 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2} = -\tfrac{b}{a}$ e $x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{3}{2} = \tfrac{c}{a}$ . Tornano.

Risultato Le soluzioni sono $x_1 = 3$ e $x_2 = -\dfrac{1}{2}$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Dimenticare la condizione $a\ne 0$ : se $a=0$ non è più un'equazione di secondo grado ma di primo, e la formula risolutiva non ha senso (si dividerebbe per zero).
Sbagliare i segni in $b^2-4ac$ , soprattutto quando $c$ è negativo: allora $-4ac$ diventa positivo e $\Delta$ cresce, non cala.
Dimenticare il $\pm$ e trovare una sola soluzione quando invece sono due.
Dimenticare il segno meno nella somma: è $-b/a$ , non $b/a$ .
Dimenticare il coefficiente $a$ davanti: con $a\ne 1$ la scomposizione è $a(x-x_1)(x-x_2)$ , non solo $(x-x_1)(x-x_2)$ .
Confondere il grado con il numero di termini: un'equazione può essere di secondo grado anche se manca $b$ o manca $c$ (equazioni pure o spurie), basta che ci sia $x^2$ .
Dire che con $\Delta=0$ "non ci sono soluzioni": ce n'è una, contata due volte (soluzione doppia).
Mettere solo $b$ al numeratore invece di $-b$ : il segno meno davanti a $b$ fa parte della formula.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di equazioni di secondo grado è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

La forma generaleUn'equazione di secondo grado si scrive $ax^2+bx+c=0$ con la condizione essenziale $a\ne 0$ . È la domanda: per quali $x$ un trinomio di secondo grado vale zero, cioè dove la sua parabola incontra l'asse delle ascisse.
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La formula risolutivaLa formula risolutiva sembra piovuta dal cielo, da imparare a memoria. In realtà è la fotografia finale di un'idea semplicissima: trasformare il trinomio in un quadrato perfetto per poter estrarre la radice.
Somma e prodotto delle radiciC'è un ponte segreto tra le soluzioni di un'equazione e i suoi coefficienti: puoi conoscere somma e prodotto delle radici senza mai calcolarle. È uno dei risultati più eleganti dell'algebra elementare.
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