Matematica · 2ª superiore

Radicali: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di radicali con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

La radice come operazione inversa

Ogni operazione in matematica ha un suo "annullatore": la sottrazione disfa l'addizione, la divisione disfa la moltiplicazione. La radice è l'annullatore dell'elevamento a potenza.

Immagina di sapere che l'area di un quadrato è $9$ e di volerne conoscere il lato. Non stai calcolando una potenza: stai facendo la domanda opposta, "quale numero, moltiplicato per sé stesso, dà $9$ ?". Quel numero è la radice quadrata di $9$ . La radice non è un oggetto nuovo e misterioso: è semplicemente una potenza letta al contrario.

In generale $\sqrt[n]{a}$ è definito come quel numero $b$ tale che $b^n=a$ . Il numeretto $n$ si chiama indice e ci dice a quale potenza dobbiamo pensare; $a$ è il radicando, il numero di cui cerchiamo la radice. Quando l'indice è $2$ lo omettiamo per abitudine e scriviamo solo $\sqrt{a}$ .

È importante capire che radice e potenza sono due facce della stessa relazione. Dire $\sqrt[3]{8}=2$ e dire $2^3=8$ sono la stessa identica informazione, raccontata da due punti di vista. Per questo tutte le regole dei radicali che incontrerai più avanti non sono capricci da memorizzare: sono le regole delle potenze, viste dallo specchio.

C'è una sottigliezza che conviene fissare subito. Quando l'indice è pari, di numeri che elevati alla $n$ danno $a$ (con $a>0$ ) ce ne sarebbero due (ad esempio sia $3$ che $-3$ al quadrato danno $9$ ). Per non avere ambiguità, si conviene che il simbolo $\sqrt[n]{a}$ con indice pari indichi solo la radice non negativa: è una scelta di ordine, non una legge di natura.

Le formule che servono

Definizione di radice n-esima

\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a \quad (a \geq 0,\ b \geq 0,\ n \in \mathbb{N},\ n \geq 2)

Radicale come potenza

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Prodotto di radicali (stesso indice)

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}

Quoziente di radicali (stesso indice)

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b > 0)

Potenza di un radicale

\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}

Radice di radice

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

Trasporto fuori dal segno di radice

\sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \cdot \sqrt[n]{b} \quad (a \geq 0)

Razionalizzazione (denominatore con una radice)

\frac{c}{\sqrt{b}} = \frac{c\,\sqrt{b}}{b} \quad (b > 0)

Razionalizzazione (denominatore binomio)

\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}

Valore assoluto (indice pari)

\sqrt[n]{a^n} = |a| \quad (n \ \text{pari})

Un esempio svolto

Esercizio Semplifica la seguente espressione e razionalizza il risultato: $\dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ .

Porto fuori dal segno di radice i due termini al numeratore: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ e $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ .
Sommo i radicali simili al numeratore: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .
L'espressione diventa $\dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ ; semplificando $\sqrt{3}$ con $\sqrt{3}$ ottengo $5$ .
Verifica: $\dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 1 = 5$ , quindi il risultato e gia un numero intero (razionale).

Risultato $\dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} = 5$

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Pensare che $\sqrt{a}$ sia " $a$ diviso $2$ ": la radice non è una divisione, è l'inversa di una potenza.
Scrivere $\sqrt{x^2}=x$ dimenticando il valore assoluto: è vero solo se $x\ge 0$ .
Distribuire la radice sulla somma: $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ , è forse l'errore più diffuso in assoluto.
Moltiplicare solo il denominatore per il fattore razionalizzante, dimenticando il numeratore: così si cambia il valore.
Scambiare numeratore e denominatore, scrivendo $a^{m/n}=\sqrt[m]{a^n}$ invece di $\sqrt[n]{a^m}$ .
Credere che $\sqrt{2}=1{,}414$ : in realtà è solo un troncamento, tant'è che $1{,}414^{2}=1{,}999396$ e non 2.
Dire che $\sqrt{9}=\pm 3$ : il simbolo indica per convenzione solo la radice non negativa, quindi $\sqrt{9}=3$ .
Credere che $\sqrt{-8}$ e $\sqrt[3]{-8}$ siano "uguali impossibili": la prima non esiste in $\mathbb{R}$ , la seconda vale $-2$ .

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di radicali è divisa in 6 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

La radice come operazione inversaLa radice $n$ -esima annulla l'elevamento a potenza: $\sqrt[n]{a}$ è quel numero che elevato alla $n$ restituisce $a$ . È la domanda al contrario rispetto alla potenza.
Quando la radice esisteNon tutte le radici hanno un senso nei numeri reali. La differenza sta tutta in un dettaglio apparentemente banale: se l'indice è pari o dispari.
Le proprietà: perché i radicali si combinanoLe proprietà dei radicali sembrano una lista da imparare, ma nascono tutte da un'unica idea: la radice "si distribuisce" su prodotti e quozienti, non su somme.
Razionalizzare: spostare l'irrazionaleAvere una radice al denominatore non è "sbagliato", ma è scomodo. Razionalizzare è l'arte di spostare l'irrazionalità dal basso all'alto della frazione senza cambiarne il valore.
Potenze a esponente razionale: un unico linguaggioE se il numeretto in alto della potenza fosse una frazione? La risposta unifica in un colpo solo radici e potenze, e rende tutte le regole precedenti conseguenze di una sola idea.
Perché √2 non è una frazione: i numeri irrazionaliFin qui i radicali sono stati oggetti da manipolare: si semplificano, si sommano, si razionalizzano. Ma che numero è $\sqrt{2}$ ? Non è una frazione, e non perché non l'abbiamo ancora trovata: nessuna frazione può esserlo, e si dimostra in dieci righe.

Argomenti collegati

Prima di questo

Mat 1ªNumeri razionali Mat 1ªMonomi e polinomi

Dopo, prosegui con

Mat 2ªEquazioni di secondo grado Mat 2ªSimilitudine, Pitagora ed Euclide

Stesso anno

Mat 2ªSistemi lineari Mat 2ªDisequazioni Mat 2ªPiano cartesiano e retta Mat 2ªQuadrilateri e cerchio

Tutti i 70 argomenti di matematica e fisica →

Ora prova tu.

Un esercizio vero di radicali, corretto un passo alla volta.

Fai un esercizio di radicali con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.