Matematica · 2ª superiore

Sistemi lineari: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di sistemi lineari con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Che cos'è un sistema

Immagina due indizi su un tesoro: da soli lasciano troppe possibilità, ma insieme puntano a un unico punto. Un sistema è esattamente questo: più condizioni che, incrociandosi, restringono le risposte.

Una singola equazione a due incognite, come $2x+y=5$ , non ha una risposta sola: le coppie che la rendono vera sono infinite ( $x=1,\ y=3$ va bene, ma anche $x=0,\ y=5$ , e così via). È come dire "la somma di un numero doppio e di un altro fa 5": rimane un'intera famiglia di possibilità.

Un sistema mette insieme due (o più) equazioni con la parola magica contemporaneamente. La graffa che le abbraccia significa "e": la coppia cercata deve soddisfare la prima equazione e la seconda, nello stesso istante. Non basta accontentare una delle due.

È per questo che la soluzione di un sistema in due incognite non è un numero, ma una coppia ordinata $(x,y)$ : un valore per $x$ e uno per $y$ che, sostituiti insieme, rendono vere tutte le uguaglianze. L'ordine conta: $(1,3)$ non è $(3,1)$ .

"Lineare" infine è una promessa di semplicità: le incognite compaiono solo alla prima potenza, mai al quadrato, mai moltiplicate fra loro, mai sotto radice. Questa purezza è ciò che, geometricamente, farà comparire delle rette e non delle curve.

Le formule che servono

Sistema 2x2 forma generale

\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}

Determinante del sistema

D = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}

Regola di Cramer (2x2)

x = \dfrac{D_{x}}{D}, \qquad y = \dfrac{D_{y}}{D}

Determinanti Dx e Dy

D_{x} = \begin{vmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}, \qquad D_{y} = \begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}

Discussione (determinato)

D \neq 0 \;\Rightarrow\; \text{una sola soluzione (sistema determinato)}

Discussione (indeterminato / impossibile)

D = 0:\;\; D_{x}=D_{y}=0 \Rightarrow \infty \text{ soluzioni}; \quad D_{x}\neq 0 \text{ o } D_{y}\neq 0 \Rightarrow \text{nessuna}

Forma matriciale

A\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \;\; (\det A \neq 0)

Teorema di Rouché-Capelli

\text{compatibile} \iff \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A\mid b)

Numero di soluzioni (Rouché-Capelli)

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\mid b)=n \Rightarrow 1 \text{ sol.}; \;\; =r<n \Rightarrow \infty^{\,n-r} \text{ sol.}

Metodo di sostituzione

y = \dfrac{c_{1}-a_{1}x}{b_{1}} \;\longrightarrow\; \text{sostituire nella 2ª equazione}

Un esempio svolto

Esercizio Risolvi il sistema lineare $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases}$ usando la regola di Cramer.

Calcolo il determinante del sistema: $D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (4)(3) = -2 - 12 = -14$ . Poiché $D \neq 0$ il sistema è determinato (una sola soluzione).
Calcolo $D_x$ sostituendo la colonna dei coefficienti di $x$ con i termini noti: $D_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (7)(-1) - (1)(3) = -7 - 3 = -10$ .
Calcolo $D_y$ sostituendo la colonna dei coefficienti di $y$ con i termini noti: $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (4)(7) = 2 - 28 = -26$ .
Applico la regola di Cramer: $x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-10}{-14} = \dfrac{5}{7}$ e $y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-26}{-14} = \dfrac{13}{7}$ .
Verifica nella prima equazione: $2\cdot\dfrac{5}{7} + 3\cdot\dfrac{13}{7} = \dfrac{10}{7} + \dfrac{39}{7} = \dfrac{49}{7} = 7$ . Corretto.

Risultato $x = \dfrac{5}{7}, \qquad y = \dfrac{13}{7}$

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Pensare che la soluzione sia un solo numero: in due incognite è sempre una coppia $(x,y)$ .
Credere che ogni sistema abbia sempre una soluzione: può averne infinite o nessuna.
Confondere parallele (stessa $m$ , nessun incontro) con coincidenti (stessa $m$ e stessa $q$ , infiniti incontri).
Sostituire l'espressione di $y$ nella stessa equazione da cui l'hai ricavata: ottieni $0=0$ inutile, non un'informazione nuova.
Sommare i primi membri ma dimenticare di sommare anche i secondi (o viceversa): l'uguaglianza va rispettata su entrambi i lati.
Applicare $x=D_x/D$ quando $D=0$ : la formula non vale, va analizzato il caso indeterminato/impossibile.
Verificare la coppia in una sola equazione: deve funzionare in tutte contemporaneamente.
Leggere $0=0$ come "impossibile": significa invece infinite soluzioni (indeterminato).

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di sistemi lineari è divisa in 6 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Che cos'è un sistemaUn sistema lineare è un insieme di equazioni che devono valere tutte insieme, contemporaneamente. La sua soluzione non è un numero, ma una coppia $(x,y)$ che soddisfa ogni equazione allo stesso tempo.
Quante soluzioni?Prima ancora di calcolare, un sistema si può interrogare così: "le tue condizioni sono compatibili? E quanto sono davvero diverse?". La risposta decide se troverai una, infinite o zero soluzioni.
Due rette che si cercanoDietro l'algebra si nasconde un'immagine semplicissima: ogni equazione è una retta, e risolvere il sistema è chiedersi dove quelle rette si incontrano. Le tre risposte possibili sono anche le uniche tre posizioni possibili di due rette nel piano.
L'idea di eliminare un'incognitaIl segreto di quasi tutti i metodi è uno solo: due incognite sono troppe, riduciamole a una. Sostituzione e confronto sono due modi eleganti di far entrare l'informazione di un'equazione dentro l'altra.
Combinare le equazioniC'è un modo quasi magico di far sparire un'incognita senza isolarla: combinare le due equazioni in modo che si annulli da sola. Si fonda su un principio che useremo tutta la vita: combinando due uguaglianze vere se ne ottiene una nuova, altrettanto vera.
Cramer e i determinantiE se la risposta fosse già scritta nei coefficienti, senza bisogno di manipolare le equazioni? Cramer trasforma il sistema in un piccolo calcolo di determinanti che, oltre a dare la soluzione, ne predice l'esistenza.

Argomenti collegati

Prima di questo

Mat 1ªEquazioni di primo grado

Dopo, prosegui con

Mat 2ªPiano cartesiano e retta Mat 2ªEquazioni di secondo grado

Stesso anno

Mat 2ªRadicali Mat 2ªDisequazioni Mat 2ªQuadrilateri e cerchio Mat 2ªSimilitudine, Pitagora ed Euclide

Tutti i 70 argomenti di matematica e fisica →

Ora prova tu.

Un esercizio vero di sistemi lineari, corretto un passo alla volta.

Fai un esercizio di sistemi lineari con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.