Matematica · 2ª superiore

Disequazioni: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di disequazioni con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

La disuguaglianza e l'insieme delle soluzioni

Un'equazione fa una domanda secca: "per quale numero i due lati sono uguali?". Una disequazione fa una domanda più generosa: "per quali numeri un lato è più grande dell'altro?". La risposta non è quasi mai un punto solo, ma un'intera regione di numeri.

Immagina una bilancia a due piatti. In un'equazione cerchi l'unico peso che la tiene in equilibrio perfetto. In una disequazione, invece, ti accontenti di sapere quando il piatto di sinistra sta più in basso (pesa di più) di quello di destra. È chiaro che a soddisfare questa condizione non sarà un solo peso, ma un'intera famiglia di pesi.

Per questo la soluzione di una disequazione non è un numero ma un insieme di numeri. E il posto naturale dove vederlo è la retta reale: ogni numero è un punto, e l'insieme soluzione è un tratto della retta, spesso una semiretta o un segmento. Colorare quel tratto è il modo più onesto di "scrivere" la risposta.

Qui entra in gioco una distinzione delicata ma importante: il simbolo. Con $>$ e $<$ (disuguaglianze strette) il valore di confine non appartiene alle soluzioni, e sul disegno lo segniamo con un pallino vuoto. Con $\ge$ e $\le$ (disuguaglianze larghe) il confine è incluso, e il pallino è pieno. Non è un dettaglio decorativo: dice se l'estremo fa parte della risposta o resta appena fuori.

La notazione degli intervalli traduce tutto questo in modo compatto. "Tutti gli $x$ maggiori di $2$ " si scrive $x>2$ , oppure $(2,+\infty)$ con la parentesi tonda a ricordare che $2$ è escluso; se fosse $x\ge 2$ scriveremmo $[2,+\infty)$ con la quadra. Accanto a $+\infty$ e $-\infty$ va sempre la tonda, perché l'infinito non è un numero che si possa raggiungere e includere.

Le formule che servono

Regola del segno (moltiplicazione/divisione)

a x < b \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} x < \dfrac{b}{a} & \text{se } a>0 \\[4pt] x > \dfrac{b}{a} & \text{se } a<0 \end{cases}

Disequazione di primo grado

ax+b>0 \;\Longrightarrow\; x > -\dfrac{b}{a}\ \ (\text{con } a>0)

Disequazione di secondo grado (a>0)

ax^2+bx+c>0,\ \Delta>0 \;\Longrightarrow\; x<x_1 \ \lor\ x>x_2

Disequazione di secondo grado (interno)

ax^2+bx+c<0,\ \Delta>0 \;\Longrightarrow\; x_1<x<x_2

Discriminante

\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Regola dei segni (prodotto)

A(x)\cdot B(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \big(A>0 \,\land\, B>0\big)\ \lor\ \big(A<0 \,\land\, B<0\big)

Disequazione fratta

\dfrac{A(x)}{B(x)}>0 \;\Longleftrightarrow\; A(x)\cdot B(x)>0,\quad B(x)\neq 0

Valore assoluto (minore)

|x|<k \;\Longleftrightarrow\; -k<x<k \quad (k>0)

Valore assoluto (maggiore)

|x|>k \;\Longleftrightarrow\; x<-k \ \lor\ x>k \quad (k>0)

Sistema di disequazioni

\begin{cases} A(x)>0 \\ B(x)>0 \end{cases}\;\Longrightarrow\; S=S_A\cap S_B

Un esempio svolto

Esercizio Risolvere la disequazione fratta $\dfrac{x-1}{x+2}\ge 0$ .

Studio il segno del numeratore: $N(x)=x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$ .
Studio il segno del denominatore: $D(x)=x+2>0 \Rightarrow x>-2$ (lo pongo strettamente positivo perche non puo annullarsi).
Pongo la condizione di esistenza: $x+2\neq 0 \Rightarrow x\neq -2$ .
Costruisco il quadro dei segni con i valori critici $x=-2$ e $x=1$ : il rapporto e positivo dove $N$ e $D$ hanno lo stesso segno, cioe per $x<-2$ (entrambi negativi) e per $x\ge 1$ (entrambi positivi).
Cerco $\dfrac{N}{D}\ge 0$ : includo $x=1$ (annulla il numeratore, valore ammesso) ed escludo $x=-2$ (annulla il denominatore).

Risultato $x<-2 \ \lor\ x\ge 1$ , ossia $S=(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Trattare la disequazione come un'equazione e cercare un solo valore, invece dell'intero insieme di soluzioni.
Dimenticare di invertire il verso quando si moltiplica o divide per un numero negativo: è l'errore numero uno.
Concludere il verso della soluzione senza guardare il segno di $a$ : con $a<0$ la semiretta va dalla parte opposta.
Ignorare la concavità: con $a<0$ i tratti positivi e negativi si scambiano rispetto al caso $a>0$ .
Fare l'unione invece dell'intersezione: il sistema chiede TUTTE le condizioni insieme, non almeno una.
Confondere pallino pieno e vuoto: con $\ge$ / $\le$ l'estremo è incluso, con $>$ / $<$ è escluso.
Invertire il verso quando si moltiplica per un positivo: il cambio riguarda SOLO i negativi.
Trattare $ax+b>0$ come l'equazione $ax+b=0$ e fermarsi alla soglia, senza dire da che parte stanno le soluzioni.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di disequazioni è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

La disuguaglianza e l'insieme delle soluzioniUna disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni, vera solo per alcuni valori dell'incognita: risolverla significa trovare l'insieme di tutti i numeri che la rendono vera, non un singolo numero. Si scrive con $<,\le,>,\ge$ e la soluzione vive sulla retta reale.
I principi e il cambio di versoAnche le disequazioni si possono manipolare mantenendo intatte le soluzioni, come per le equazioni. Ma nascondono una trappola meravigliosa e istruttiva: una sola mossa, moltiplicare per un negativo, capovolge tutto il senso della disuguaglianza.
Disequazioni di primo gradoUna disequazione di primo grado è la più semplice e la più eloquente: dice che una retta sta sopra o sotto lo zero. La sua soluzione è sempre "tutto ciò che sta da una parte" di un punto di confine.
Secondo grado e studio del segnoCon il secondo grado entra in scena una curva, la parabola. La domanda non è più "sopra o sotto un punto", ma "in quali tratti la curva sta sopra (o sotto) l'asse x". La risposta può essere due semirette, un segmento, tutto, o nulla.
Sistemi di disequazioniUn sistema di disequazioni mette più condizioni sullo stesso numero e pretende che valgano tutte insieme. La parola chiave è "e", non "o": la soluzione è dove tutte le richieste si sovrappongono.

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