Matematica · 2ª superiore

Similitudine, Pitagora ed Euclide: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di similitudine, Pitagora ed Euclide con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Figure simili e rapporto di similitudine

Pensa alla foto sullo schermo del telefono e alla stessa foto proiettata sul muro: cambiano le dimensioni, ma non ne stiri i volti. Quella è la similitudine: la forma resta identica, la grandezza no.

Il cuore dell'idea è distinguere due cose che nella vita quotidiana confondiamo: la forma e la grandezza. Due figure sono simili quando hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti tutti nella stessa proporzione. Una è semplicemente l'altra vista da più vicino o da più lontano.

Questo "quante volte più grande" è un unico numero, il rapporto di similitudine $k$ . Se $k=2$ ogni lunghezza della seconda figura è il doppio della prima; se $k=\frac{1}{3}$ è un terzo. È fondamentale capire che $k$ agisce su tutte le lunghezze allo stesso modo: lati, diagonali, altezze, perimetri. Non puoi ingrandire la base tenendo fissa l'altezza, altrimenti distorci la forma e la similitudine si rompe.

Una sottigliezza che sorprende sempre riguarda le aree. Se raddoppi tutte le lunghezze ( $k=2$ ), l'area non raddoppia: diventa quattro volte più grande. Il motivo è geometrico e non un capriccio: l'area è "lunghezza per lunghezza", quindi il suo rapporto è $k$ moltiplicato per sé stesso. In generale le aree stanno nel rapporto $k^2$ . Ecco perché una pizza da 30 cm di diametro non è il doppio di una da 15 cm, ma quattro volte più abbondante.

La congruenza che hai studiato prima è solo il caso particolare $k=1$ : stessa forma e stessa grandezza. La similitudine è quindi un'idea più larga e generosa, che tiene insieme tutte le figure "della stessa famiglia".

Le formule che servono

Teorema di Pitagora

i^2 = c_1^2 + c_2^2

Cateto (da Pitagora)

c_1 = \sqrt{i^2 - c_2^2}

1° Teorema di Euclide

c^2 = i \cdot p

Altezza (2° Teorema di Euclide)

h^2 = p_1 \cdot p_2

2° Teorema di Euclide (proporzione)

p_1 : h = h : p_2

1° Teorema di Euclide (proporzione)

i : c = c : p

Criterio di similitudine (AA)

\widehat{A} \cong \widehat{A'} \;\wedge\; \widehat{B} \cong \widehat{B'} \;\Rightarrow\; \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'

Rapporto di similitudine

k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}

Rapporto tra le aree

\frac{S'}{S} = k^2

Area del triangolo rettangolo

S = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} = \frac{i \cdot h}{2}

Un esempio svolto

Esercizio In un triangolo rettangolo i due cateti misurano $c_1 = 6$ cm e $c_2 = 8$ cm. Calcola l'ipotenusa, l'altezza relativa all'ipotenusa e le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Con il Teorema di Pitagora trovo l'ipotenusa: $i = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
Con il $1^\circ$ Teorema di Euclide ( $c^2 = i \cdot p$ ) ricavo le proiezioni dei cateti: $p_1 = \dfrac{c_1^2}{i} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6$ cm e $p_2 = \dfrac{c_2^2}{i} = \dfrac{64}{10} = 6{,}4$ cm.
Verifica: $p_1 + p_2 = 3{,}6 + 6{,}4 = 10 = i$ , quindi le proiezioni ricostruiscono correttamente l'ipotenusa.
Con il $2^\circ$ Teorema di Euclide ( $h^2 = p_1 \cdot p_2$ ) trovo l'altezza: $h = \sqrt{3{,}6 \cdot 6{,}4} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ cm.
Controllo finale con l'area: $S = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm $^2$ e anche $S = \dfrac{i \cdot h}{2} = \dfrac{10 \cdot 4{,}8}{2} = 24$ cm $^2$ : i due risultati coincidono.

Risultato $i = 10$ cm, $\; h = 4{,}8$ cm, $\; p_1 = 3{,}6$ cm, $\; p_2 = 6{,}4$ cm.

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere "simile" con "uguale": le figure simili hanno la stessa forma ma quasi mai la stessa grandezza.
Cercare i tre lati congruenti quando bastano due angoli: per i triangoli il criterio $AA$ è già sufficiente.
Applicare i teoremi di Euclide a un triangolo che non è rettangolo: valgono solo con l'angolo retto e l'altezza relativa all'ipotenusa.
Applicare $a^2+b^2=c^2$ mettendo un cateto al posto dell'ipotenusa: $c$ è sempre il lato più lungo, opposto all'angolo retto.
Nelle scale, applicare il rapporto $k$ alle aree: le superfici vanno convertite con $k^2$ , non con $k$ .
Pensare che se le lunghezze raddoppiano anche l'area raddoppi: l'area cresce con $k^2$ , i volumi con $k^3$ .
Confondere lati "congruenti" (congruenza) con lati "proporzionali" (similitudine): nella similitudine conta il rapporto costante, non l'uguaglianza.
Scambiare la proiezione del cateto con l'intera ipotenusa nel primo teorema: il cateto va con la SUA proiezione.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di similitudine, Pitagora ed Euclide è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Figure simili e rapporto di similitudineDue figure sono simili quando hanno la stessa forma ma non necessariamente la stessa grandezza: una è l'ingrandimento o la riduzione dell'altra. Il legame è un unico numero, il rapporto di similitudine $k$ , che dice quante volte le lunghezze di una sono più grandi di quelle dell'altra.
I criteri di similitudine dei triangoliPer sapere se due triangoli sono simili sembrerebbe di dover misurare tutti gli angoli e tutti i lati. E invece bastano pochissimi indizi: il triangolo è una figura "rigida" che si tradisce facilmente.
I teoremi di EuclideTraccia l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo: come per magia compaiono tre triangoli tutti della stessa forma. Da questa somiglianza nascono i due teoremi di Euclide.
Il teorema di Pitagora come caso notevoleIl teorema più famoso della matematica non è un fulmine a ciel sereno: è ciò che ottieni quando sommi insieme le due relazioni del primo teorema di Euclide. Pitagora è Euclide messo in fila.
Applicazioni: misurare l'inaccessibileLa similitudine è la matematica di chi vuole misurare ciò che non può toccare: l'altezza di un albero senza arrampicarsi, la larghezza di un fiume senza attraversarlo, la distanza reale leggendola su una mappa.

Argomenti collegati

Prima di questo

Mat 2ªQuadrilateri e cerchio Mat 2ªRadicali

Dopo, prosegui con

Mat 4ªTrigonometria Mat 3ªCirconferenza

Stesso anno

Mat 2ªSistemi lineari Mat 2ªEquazioni di secondo grado Mat 2ªDisequazioni Mat 2ªPiano cartesiano e retta

Tutti i 70 argomenti di matematica e fisica →

Ora prova tu.

Un esercizio vero di similitudine, Pitagora ed Euclide, corretto un passo alla volta.

Fai un esercizio di similitudine, Pitagora ed Euclide con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.