Matematica · 3ª superiore

Equazioni di grado superiore: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di equazioni di grado superiore con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Che cos'è un'equazione

Prima di imparare a risolvere le equazioni, dobbiamo capire bene che cosa stiamo guardando. Un'equazione non è un calcolo da eseguire: è una domanda travestita da uguaglianza.

Partiamo da un'immagine. Quando scrivi $2x + 3 = 11$ , non stai affermando che il membro di sinistra è uguale a quello di destra: stai facendo una domanda. La domanda è: per quali valori di $x$ questa uguaglianza diventa vera?

Questo è il cuore di tutto. Un'equazione è un'uguaglianza condizionata: contiene una lettera, l'incognita, che rappresenta un numero ancora sconosciuto. A seconda del numero che mettiamo al posto della lettera, l'uguaglianza può risultare vera oppure falsa.

Nel nostro esempio, se provi $x = 4$ ottieni $11 = 11$ , vero. Se provi $x = 5$ ottieni $13 = 11$ , falso. Il valore che rende vera l'uguaglianza si chiama soluzione (o radice) dell'equazione. Tutte le soluzioni, raccolte insieme, formano l'insieme delle soluzioni $S$ .

È importante distinguere l'equazione dall'identità. Anche $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ è un'uguaglianza con una lettera, ma qui succede una cosa diversa: è vera qualunque numero tu metta al posto di $x$ . Non c'è nessuna condizione da soddisfare, perché i due membri sono la stessa espressione scritta in due modi. Più che una domanda, è un'affermazione sempre vera. La differenza non è nella forma, ma nel perché è vera: l'equazione è vera per selezione, l'identità per costruzione.

Questo però non taglia fuori l'identità dal mondo delle equazioni: anzi, un'identità si può leggere benissimo come un'equazione il cui insieme delle soluzioni è formato da tutti i valori per cui le due espressioni hanno senso. Non è un oggetto di un'altra specie: è il caso limite in cui la "selezione" non scarta nessuno. Tienilo a mente, perché chiude il cerchio: identità ed equazione non sono in contrapposizione, l'una è un caso particolarissimo dell'altra.

Da qui nasce una classificazione naturale, basata su quanti elementi ha $S$ :

Un'equazione è determinata quando ha un numero finito di soluzioni (per esempio una sola). È il caso più comune e quello che cerchiamo.

È indeterminata quando è soddisfatta da infiniti valori: al limite, da tutti. Un'identità è proprio il caso estremo di equazione indeterminata, quella in cui $S$ coincide con l'intero insieme dei valori ammessi.

È impossibile quando nessun valore la rende vera, e quindi $S = \varnothing$ (insieme vuoto). Pensa a $x + 1 = x + 2$ : chiede un numero che, aumentato di $1$ , dia lo stesso risultato di quando lo aumenti di $2$ . Non esiste.

Tienine il senso profondo: classificare un'equazione vuol dire fotografare la sua "popolazione" di soluzioni, non descrivere quanto è difficile da risolvere.

Le formule che servono

Equazione di primo grado

ax+b=0 \;\Rightarrow\; x=-\dfrac{b}{a}\quad(a\neq 0)

Formula risolutiva (2° grado)

ax^2+bx+c=0 \;\Rightarrow\; x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Discriminante

\Delta=b^2-4ac:\;\;\Delta>0\;(2\text{ sol.}),\;\Delta=0\;(1\text{ sol.}),\;\Delta<0\;(\text{nessuna sol. reale})

Relazioni di Viète (somma e prodotto)

x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

Legge di annullamento del prodotto

A\cdot B=0 \;\Longleftrightarrow\; A=0 \;\text{oppure}\; B=0

Disequazione di primo grado

ax+b>0:\;\;a>0\Rightarrow x>-\dfrac{b}{a},\qquad a<0\Rightarrow x<-\dfrac{b}{a}

Disequazione di secondo grado (segno di a)

ax^2+bx+c>0,\;a>0,\;\Delta>0:\;\; x<x_1 \;\vee\; x>x_2\quad(\text{esterni})

Regola della moltiplicazione/divisione

\text{moltiplicando o dividendo per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte}

Un esempio svolto

Esercizio Risolvi l'equazione di secondo grado $2x^2-5x-3=0$ e poi determina per quali valori di $x$ vale la disequazione $2x^2-5x-3>0$ .

Identifico i coefficienti: $a=2$ , $b=-5$ , $c=-3$ .
Calcolo il discriminante: $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$ . Poiché $\Delta>0$ ci sono due soluzioni reali distinte.
Applico la formula risolutiva: $x_{1,2}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\dfrac{5\pm 7}{4}$ , da cui $x_1=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac{1}{2}$ e $x_2=\dfrac{5+7}{4}=3$ .
Verifica con Viète: $x_1+x_2=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}=-\frac{b}{a}$ e $x_1\cdot x_2=-\frac{1}{2}\cdot 3=-\frac{3}{2}=\frac{c}{a}$ . Tornano.
Per la disequazione $2x^2-5x-3>0$ con $a=2>0$ : la parabola è positiva all'esterno delle radici, quindi la soluzione è $x<-\dfrac{1}{2}\;\vee\;x>3$ .

Risultato Soluzioni dell'equazione: $x_1=-\dfrac{1}{2}$ , $x_2=3$ . Soluzione della disequazione: $x<-\dfrac{1}{2}\;\vee\;x>3$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere identità ed equazione: pensare che ogni uguaglianza con una lettera abbia "una soluzione da trovare". L'identità è vera sempre, e come equazione ha per soluzioni tutti i valori del dominio.
Pensare che il trasporto sia una regola a sé: è solo il primo principio. Capirlo evita errori di segno.
Iniziare a risolvere senza prima scrivere le condizioni di esistenza: è la causa numero uno delle soluzioni estranee.
Saltare la verifica nelle fratte e nelle irrazionali: è proprio lì che si annidano le soluzioni estranee.
Credere che impossibile significhi "non sono capace di risolverla": significa che $S$ è vuoto, è una proprietà dell'equazione, non tua.
Dividere entrambi i membri per un'espressione con l'incognita (es. dividere $x^2 = x$ per $x$ ) senza accorgersi di poter dividere per zero: così si perde la soluzione $x = 0$ .
Confondere il grado con il numero di soluzioni effettive: il grado dà il numero massimo, non quello certo.
Fare la verifica sull'equazione già trasformata invece che su quella originale: un intruso passerebbe il controllo, perché è stato quel passaggio a crearlo.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di equazioni di grado superiore è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Che cos'è un'equazioneUn'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni che è vera solo per certi valori dell'incognita; risolverla significa scoprire quali. Diversa dall'identità, vera sempre.
Equazioni equivalenti e principiRisolvere un'equazione significa trasformarla in una più semplice senza cambiare le sue soluzioni. Ma quali trasformazioni sono lecite? La risposta sta nel concetto di equivalenza.
Classificazione e dominioNon tutte le equazioni si comportano allo stesso modo: dove compare l'incognita cambia tutto. Da qui nasce la classificazione, e con essa l'idea decisiva di dominio.
Risolvere e verificareMettiamo insieme tutto. Risolvere non è solo "trovare il numero": è trovare i valori giusti dentro il dominio giusto, e poi controllare di non aver raccolto intrusi.

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