Matematica · 3ª superiore

Ellisse: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di ellisse con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

L'ellisse come luogo

Prima di scrivere qualsiasi equazione, fermiamoci a capire che cosa sia un'ellisse. Non partiamo da una formula: partiamo da un'idea geometrica, semplice e visiva, che possiamo addirittura realizzare con le mani.

Immagina di piantare due chiodi su un foglio e di legare ai chiodi i due capi di un filo, lasciandolo un po' lento. Ora tendi il filo con la punta di una matita e muovi la matita tenendo sempre il filo teso: la curva che disegni è proprio un'ellisse.

Perché funziona? In ogni istante il filo è diviso in due tratti: quello dalla matita al primo chiodo e quello dalla matita al secondo chiodo. La loro somma è la lunghezza totale del filo, che non cambia mai. I due chiodi sono i fuochi, che indichiamo con $F_1$ e $F_2$ .

Diamo allora la definizione vera e propria.

PF_1 + PF_2 = 2a

L'ellisse è l'insieme di tutti i punti $P$ del piano la cui somma delle distanze dai due fuochi è uguale a una costante, che per comodità chiamiamo $2a$ .

Fermati un attimo su questa scelta. Nella circonferenza c'era una distanza costante (dal centro); qui ce ne sono due, ma a restare fissa non è ciascuna distanza, bensì la loro somma. È un cambio di prospettiva importante: la curva nasce da un equilibrio tra due punti, non dalla rigidità di uno solo.

La distanza tra i due fuochi si chiama distanza focale e vale $2c$ . Perché la curva esista e sia un'ellisse vera, il filo deve essere più lungo della distanza tra i chiodi, cioè

2a > 2c \Rightarrow a > c.

Qui si nasconde tutta la geometria della figura. Se il filo è molto più lungo della distanza tra i fuochi, hai molta libertà di movimento e ottieni una curva panciuta, vicina a un cerchio. Se invece il filo è appena più lungo, la matita è costretta a muoversi in uno spazio stretto e la curva risulta allungata e schiacciata. E nel caso limite in cui i due fuochi coincidono, le due distanze diventano una sola: ritrovi la circonferenza. La circonferenza, in fondo, è un'ellisse con i fuochi sovrapposti.

Le formule che servono

Equazione canonica (centro nell'origine)

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Relazione fuochi-semiassi (fuochi sull'asse x)

c^2=a^2-b^2 \quad (a>b>0)

Definizione come luogo geometrico

PF_1+PF_2=2a

Coordinate dei fuochi (asse focale x)

F_1(-c,\,0),\quad F_2(c,\,0)

Vertici

A_1(-a,0),\ A_2(a,0),\ B_1(0,-b),\ B_2(0,b)

Eccentricità

e=\frac{c}{a}, \quad 0\le e<1

Misura degli assi

\text{asse maggiore}=2a,\quad \text{asse minore}=2b

Fuochi sull'asse y

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\ b>a,\ c^2=b^2-a^2

Equazione delle direttrici (fuochi su x)

x=\pm\frac{a}{e}=\pm\frac{a^2}{c}

Area dell'ellisse

\mathcal{A}=\pi\, a\, b

Un esempio svolto

Esercizio Data l'ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ , determina i semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, e l'eccentricità.

Confrontando con la forma canonica $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ si ha $a^2=25$ e $b^2=9$ , quindi $a=5$ e $b=3$ . Poiché $a>b$ l'asse focale è l'asse $x$ .
I vertici sono $A_1(-5,0)$ , $A_2(5,0)$ sull'asse maggiore e $B_1(0,-3)$ , $B_2(0,3)$ sull'asse minore.
Calcolo la semidistanza focale con $c^2=a^2-b^2=25-9=16$ , da cui $c=4$ . I fuochi sono quindi $F_1(-4,0)$ e $F_2(4,0)$ .
L'eccentricità è $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$ , valore compreso tra $0$ e $1$ come deve essere per un'ellisse.

Risultato Semiassi $a=5$ , $b=3$ ; vertici $(\pm5,0)$ e $(0,\pm3)$ ; fuochi $F_1(-4,0)$ , $F_2(4,0)$ ; eccentricità $e=\dfrac{4}{5}=0{,}8$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere l'ellisse con la circonferenza: lì è costante una distanza, qui la somma di due.
Credere che sia sempre $a > b$ : con la nostra convenzione $a$ è il semiasse orizzontale, che può anche essere il minore; sono i fuochi a stare sull'asse del semiasse maggiore.
Pensare che $e$ misuri la grandezza dell'ellisse: misura solo la forma (lo schiacciamento).
Pensare che serva conoscere già l'equazione: al contrario, ogni dato (fuoco, punto, eccentricità) è una condizione che la costruisce; due condizioni indipendenti bastano per le due incognite $a^2$ e $b^2$ .
Credere che le quattro coniche siano curve senza parentela. In realtà sono lo stesso taglio di cono: cambia solo l'inclinazione del piano.
Pensare che a essere costante sia ciascuna delle due distanze $PF_1$ e $PF_2$ : ciò che resta fisso è solo la loro somma.
Usare $c^2 = a^2 + b^2$ (è la relazione dell'iperbole, non dell'ellisse): qui i quadrati si sottraggono, da qui il valore assoluto $|a^2 - b^2|$ .
Ammettere $e \ge 1$ : per l'ellisse è sempre $0 \le e < 1$ , dove $e = 0$ è il caso limite della circonferenza; $e = 1$ riguarda la parabola, $e > 1$ l'iperbole.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di ellisse è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

L'ellisse come luogoL'ellisse è il luogo dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi, è costante. È questa somma fissa a dare alla curva la sua forma chiusa e ovale.
Equazione ed elementiAbbiamo un'idea geometrica pulita. Ora la traduciamo in algebra, scegliendo con cura il sistema di riferimento, in modo che l'equazione risulti la più semplice possibile e parli chiaro dei suoi elementi.
L'eccentricitàDue ellissi possono avere dimensioni diverse eppure la stessa forma, come due fotografie della stessa figura stampate grande e piccola. Serve allora un numero che catturi la forma, indipendentemente dalle dimensioni. Quel numero è l'eccentricità.
Determinare l'ellisseFinora abbiamo guardato l'ellisse "dall'alto", conoscendone l'equazione. Ribaltiamo ora la prospettiva: spesso l'ellisse non è data, e dobbiamo ricostruirla a partire da poche informazioni. È qui che tutti i concetti precedenti si mettono al lavoro insieme.
Le coniche come sezioni del cono e la definizione unitariaFinora l'ellisse è stata una curva a sé, tenuta insieme dai suoi due fuochi. Adesso fai un passo indietro e guardala da lontano: prendi un cono, taglialo con un piano e inclina il piano poco per volta. Le curve che compaiono sul taglio sono sempre le stesse quattro, e le governa un numero solo.

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