Matematica · 3ª superiore

Iperbole: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di iperbole con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

L'iperbole come luogo

Per capire davvero l'iperbole conviene metterla a confronto con l'ellisse. Nell'ellisse fissiamo due punti, i fuochi, e cerchiamo tutti i punti la cui somma delle distanze è costante: il risultato è una curva chiusa. Nell'iperbole cambiamo una sola parola, ma cambia tutto: al posto della somma mettiamo la differenza. È da questo piccolo scambio che nasce una curva completamente diversa, aperta e composta da due parti.

Partiamo dall'idea fondamentale. Fissiamo nel piano due punti, $F_1$ e $F_2$ , che chiamiamo fuochi. L'iperbole è l'insieme di tutti i punti $P$ tali che il valore assoluto della differenza delle loro distanze dai due fuochi sia un numero costante.

In simboli, indicando con $d_1 = \overline{PF_1}$ e $d_2 = \overline{PF_2}$ , la condizione è

|d_1 - d_2| = 2a

dove $2a$ è la costante assegnata (positiva e minore della distanza tra i fuochi).

Fermiamoci a riflettere sul perché compaia il valore assoluto. La differenza $d_1 - d_2$ , senza valore assoluto, può essere positiva o negativa: è positiva per i punti più vicini a $F_2$ e negativa per quelli più vicini a $F_1$ . Mettendo il valore assoluto stiamo dicendo "non mi importa quale fuoco sia il più vicino, mi interessa solo di quanto una distanza supera l'altra". Ecco perché l'iperbole ha due rami simmetrici: un ramo raccoglie i punti per cui $d_1 - d_2 = +2a$ (più vicini a un fuoco), l'altro quelli per cui $d_1 - d_2 = -2a$ (più vicini all'altro).

C'è poi una condizione di esistenza che ha un significato geometrico bellissimo. Per la disuguaglianza triangolare, in un triangolo la differenza di due lati è sempre minore del terzo lato. Applicandola al triangolo $PF_1F_2$ , la differenza delle distanze dai fuochi non può mai superare la distanza $\overline{F_1F_2} = 2c$ tra i fuochi. Deve quindi essere $2a < 2c$ , cioè $a < c$ . È esattamente il contrario dell'ellisse (dove invece $a > c$ ): e questo "ribaltamento" è la firma dell'iperbole.

Il punto medio del segmento $F_1F_2$ è il centro della curva, e i due rami si allontanano indefinitamente da esso. A differenza dell'ellisse, l'iperbole non è limitata: i suoi rami proseguono all'infinito, avvicinandosi sempre più a due rette particolari di cui parleremo nella prossima sezione.

Le formule che servono

Equazione canonica (fuochi asse x)

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Equazione canonica (fuochi asse y)

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1

Relazione fuochi-semiassi

c^2 = a^2 + b^2

Coordinate dei fuochi (asse x)

F_1(-c,\,0), \quad F_2(c,\,0)

Eccentricita

e = \frac{c}{a} > 1

Asintoti

y = \pm \frac{b}{a}\,x

Definizione (differenza distanze)

\left| PF_1 - PF_2 \right| = 2a

Iperbole equilatera

x^2 - y^2 = a^2

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

xy = k

Un esempio svolto

Esercizio Data l'iperbole di equazione $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ , determina i vertici, i fuochi, l'eccentricita e le equazioni degli asintoti.

Dall'equazione canonica leggo $a^2 = 16$ e $b^2 = 9$ , quindi $a = 4$ e $b = 3$ . I fuochi sono sull'asse $x$ perche il termine in $x^2$ e positivo.
I vertici (reali) si trovano sull'asse $x$ : $V_1(-4,\,0)$ e $V_2(4,\,0)$ .
Calcolo $c$ usando $c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ , da cui $c = 5$ . I fuochi sono $F_1(-5,\,0)$ e $F_2(5,\,0)$ .
L'eccentricita e $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25 > 1$ , come deve essere per ogni iperbole.
Gli asintoti hanno equazione $y = \pm \dfrac{b}{a}\,x = \pm \dfrac{3}{4}\,x$ .

Risultato Vertici $V_1(-4,0)$ , $V_2(4,0)$ ; fuochi $F_1(-5,0)$ , $F_2(5,0)$ ; eccentricita $e = \dfrac{5}{4}$ ; asintoti $y = \pm \dfrac{3}{4}x$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere iperbole ed ellisse: nell'ellisse è costante la somma delle distanze, nell'iperbole la differenza (in valore assoluto).
Usare la relazione dell'ellisse $c^2 = a^2 - b^2$ : per l'iperbole è $c^2 = a^2 + b^2$ ( $c$ è l'ipotenusa, sempre il più grande).
Pensare che $y = \frac{k}{x}$ sia "un'altra curva": è un'iperbole equilatera vista coi propri asintoti come assi.
Dimenticare la condizione $ad - bc \ne 0$ : se è nulla, la frazione si semplifica e il grafico degenera in una retta orizzontale, non un'iperbole.
Dimenticare il valore assoluto: senza di esso si descriverebbe un solo ramo, non l'intera iperbole.
Credere che $b$ sia un semiasse "reale": l'iperbole non interseca affatto l'asse $y$ ; $b$ serve a costruire gli asintoti.
Dimenticare che equilatera significa $a = b$ e quindi asintoti perpendicolari, non semplicemente "uguali" in qualche generico senso.
Cercare il centro nell'origine: nella funzione omografica il centro è traslato in $\left(-\frac{d}{c},\, \frac{a}{c}\right)$ , l'incrocio dei due asintoti.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di iperbole è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

L'iperbole come luogoL'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi, i fuochi: $|d_1 - d_2| = 2a$ . Ne nascono due rami.
Equazione, asintoti, eccentricitàAdesso traduciamo la definizione geometrica in algebra. Se mettiamo i fuochi simmetrici rispetto all'origine sull'asse $x$ , cioè $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$ , e imponiamo la condizione $|d_1 - d_2| = 2a$ , dopo qualche passaggio otteniamo un'equazione pulitissima. Quello che voglio farti notare non sono i calcoli, ma il significato dei numeri che vi compaiono.
Iperbole equilatera e xy=kC'è un caso particolare di iperbole che incontri continuamente, spesso senza riconoscerlo: è quello in cui $a = b$ . Lo si chiama iperbole equilatera, ed è speciale perché possiede una simmetria in più. Quando poi la guardiamo dal punto di vista "giusto", riappare un vecchio amico della scuola media: la proporzionalità inversa.
La funzione omograficaArriviamo all'ultima tappa, che unifica tutto. Hai visto che $y = \frac{k}{x}$ è un'iperbole equilatera centrata nell'origine. E se al posto del semplice $x$ a denominatore comparisse un'espressione di primo grado, e anche al numeratore? Si ottiene la funzione omografica, e la sorpresa è che è ancora un'iperbole equilatera: solo, spostata dall'origine.

Argomenti collegati

Prima di questo

Mat 3ªEllisse Mat 3ªCirconferenza

Dopo, prosegui con

Mat 3ªFunzioni Mat 5ªStudio di funzione

Stesso anno

Mat 3ªEquazioni di grado superiore Mat 3ªDisequazioni avanzate Mat 3ªRetta Mat 3ªParabola

Tutti i 70 argomenti di matematica e fisica →

Ora prova tu.

Un esercizio vero di iperbole, corretto un passo alla volta.

Fai un esercizio di iperbole con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.