Geometria analitica nello spazio: come si fa, formule ed esempio svolto

Nel piano bastavano due numeri per fissare un punto; nello spazio ne servono tre. Distanze, punti medi, vettori e angoli sono la stessa geometria analitica che già conosci, con una coordinata in più. La novità vera è il prodotto scalare: un numero che dice quanto due direzioni vanno d'accordo.

La terna $Oxyz$. Mettiti nell'angolo di una stanza: dove due pareti incontrano il pavimento c'è l'origine $O$. Lo spigolo lungo una parete è l'asse $x$, quello lungo l'altra è l'asse $y$, lo spigolo verticale è l'asse $z$. I tre assi sono a due a due perpendicolari e la terna è orientata con la regola della mano destra: se le dita si chiudono da $x$ verso $y$, il pollice indica $z$. A due a due gli assi individuano i piani coordinati: il pavimento è il piano $xy$ ($z=0$), le pareti sono i piani $xz$ ($y=0$) e $yz$ ($x=0$).

Un punto = tre numeri. $P=(x,y,z)$ significa: cammina $x$ lungo la prima parete, $y$ lungo la seconda, sali di $z$. Una lampadina in $(3,4,2)$: 3 m lungo una parete, 4 lungo l'altra, 2 da terra.

Distanza: Pitagora due volte. Quanto è lunga la diagonale di una scatola di spigoli $a,b,c$? Prima la diagonale del fondo, $\sqrt{a^2+b^2}$; poi questa e l'altezza $c$ formano un altro triangolo rettangolo: la diagonale vera è $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Due punti qualsiasi sono vertici opposti di una scatola con spigoli $|x_B-x_A|$, $|y_B-y_A|$, $|z_B-z_A|$: da qui la formula della distanza. Il punto medio è la media di ciascuna coordinata, come nel piano.

Vettori per componenti. Un vettore è uno spostamento: $\vec v=(v_x,v_y,v_z)$ dice di quanto ci si muove lungo ciascun asse. Il vettore da $A$ a $B$ è $\vec{AB}=B-A$, coordinata per coordinata; il suo modulo $|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ è la distanza appena vista. Somma e prodotto per uno scalare si fanno componente per componente: $\vec u+\vec v$ è «uno spostamento, poi l'altro», $k\vec v$ lo stesso spostamento allungato di $k$ (ribaltato se $k<0$). Da qui: due vettori sono paralleli se uno è multiplo dell'altro, $\vec u=k\vec v$, cioè se le componenti sono proporzionali.

Prodotto scalare: quanto due direzioni vanno d'accordo. $\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$ è un numero, non un vettore, e vale anche $|\vec u||\vec v|\cos\theta$, con $\theta$ l'angolo tra i due. Il perché: nel triangolo di lati $\vec u$, $\vec v$, $\vec u-\vec v$ scrivi $|\vec u-\vec v|^2$ in due modi, con Carnot e per componenti: i quadrati si semplificano e resta proprio quell'uguaglianza. Il segno racconta tutto: positivo se le direzioni sono concordi, negativo se discordi, zero se perpendicolari ($\cos 90^\circ=0$): $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$, il criterio che userai di continuo, senza calcolare angoli. E se l'angolo serve:

Prodotto vettoriale. A volte serve il contrario: costruire un vettore perpendicolare a due vettori dati. È il prodotto vettoriale $\vec u\times\vec v=(u_yv_z-u_zv_y,\;u_zv_x-u_xv_z,\;u_xv_y-u_yv_x)$. Verifica pure che il suo prodotto scalare con $\vec u$ e con $\vec v$ fa zero; il suo modulo $|\vec u||\vec v|\sin\theta$ è l'area del parallelogramma che i due delimitano. Nella sezione sul piano servirà per la normale a un piano per tre punti.