Limiti: come si fa, formule ed esempio svolto

Prima di dire che cosa significa «tendere a» serve il vocabolario per parlare di «vicino»: intorni, punti di accumulazione, estremo superiore. E serve il caso più semplice di limite, quello delle successioni, dove la variabile fa solo passi interi e l'idea di «quasi tutti i termini dopo un certo $n$» si vede a occhio.

Intorni: il vocabolario del «vicino». Un intorno di $x_0$ è un intervallo aperto che lo contiene; quello circolare di raggio $\delta$ è $(x_0-\delta,\,x_0+\delta)$, cioè gli $x$ con $|x-x_0|<\delta$. Il raggio dice «quanto vicino»: «$x$ è vicino a 2» non vuol dire nulla, «$|x-2|<0{,}01$» sì. Gli intorni destro $[x_0,x_0+\delta)$ e sinistro guardano un lato solo. L'infinito non è un numero, ma ha i suoi intorni: un intorno di $+\infty$ è una semiretta $(M,+\infty)$, «oltre una soglia»; uno di $-\infty$ è $(-\infty,M)$. Così ogni definizione di limite diventa una frase sola.

Punti di accumulazione e punti isolati. $x_0$ è di accumulazione per $A$ se ogni suo intorno contiene punti di $A$ diversi da $x_0$: l'insieme gli si addensa attorno. $x_0$ può non stare in $A$: per $A=\{1,\tfrac12,\tfrac13,\dots\}$ il punto $0$ è di accumulazione (ogni $(-\delta,\delta)$ contiene infiniti $\tfrac1n$) ma non appartiene ad $A$; ogni $\tfrac1n$ invece è isolato: ha un intorno in cui è l'unico elemento di $A$. Per $(a,b)$ sono di accumulazione tutti i punti di $[a,b]$; $\mathbb N$ non ne ha.

Sup e inf non sono max e min. $(0,1)$ non ha massimo: qualunque elemento scegli, ce n'è uno più grande. Ha però un estremo superiore, il più piccolo dei maggioranti: $\sup(0,1)=1$, anche se $1$ non sta nell'insieme. Per $\{\tfrac1n\}$ il massimo è $1$, il minimo non esiste e $\inf=0$. Ogni insieme non vuoto limitato superiormente ha sup: per questo una successione crescente e limitata converge, al sup dei suoi valori.

Successioni: funzioni che fanno passi interi. Una successione è una funzione $a:\mathbb N\to\mathbb R$; si scrive $a_n$ invece di $a(n)$. I naturali sono isolati, quindi «vicino a $n=5$» non ha senso: l'unico punto di accumulazione (esteso) di $\mathbb N$ è $+\infty$, e infatti il limite di una successione è solo per $n\to+\infty$.

Scelto un intorno di $L$ stretto quanto vuoi, quasi tutti i termini ci stanno dentro, cioè tutti tranne un numero finito. La successione è convergente se ha limite finito, divergente se $a_n\to\pm\infty$ (supera definitivamente ogni soglia), indeterminata se non ha limite: $(-1)^n$ vale $1,-1,1,-1,\dots$ e nessun intorno di raggio minore di $1$ contiene quasi tutti i termini, perché metà gli sfugge.

La progressione geometrica $q^n$. Se $q>1$, $q^n\to+\infty$; se $q=1$ resta $1$; se $|q|<1$, $q^n\to0$ (anche se con $q<0$ il segno alterna); se $q=-1$ oscilla come $(-1)^n$; se $q<-1$ i moduli esplodono a segno alterno, senza limite. Sommando, $1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (per $q\neq1$) e per $|q|<1$ il pezzo $q^{n+1}$ sparisce:

Somma infinita, risultato finito: $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\dots=1$, cioè dimezzando sempre il pezzo che manca copri tutta la barra. Lo stesso meccanismo dice che $0{,}999\ldots=1$.