Matematica · 5ª superiore

Teoremi del calcolo e ottimizzazione: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di teoremi del calcolo e ottimizzazione con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Funzioni continue e i loro teoremi

Una funzione è continua in un punto quando il limite coincide con il valore: nessun salto, nessun buco. Da questa idea nascono tre teoremi che non calcolano niente ma garantiscono che qualcosa esista: un massimo, un valore intermedio, uno zero. Qui capisci perché le loro ipotesi non sono un dettaglio.

Continuità in un punto. $f$ è continua in $x_0$ se il limite esiste, è finito e coincide con il valore:

\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

L'immagine «si disegna senza staccare la penna» è utile perché cattura l'idea giusta: nessun salto, nessun buco. Non è perfetta: $1/x$ è continua in ogni punto del suo dominio, eppure non si disegna d'un fiato. La continuità è una proprietà punto per punto, non del disegno intero.

Le funzioni elementari (polinomi, razionali, esponenziali, logaritmi, seno, coseno, radici) sono continue ovunque sono definite; somme, prodotti, quozienti e composizioni di funzioni continue restano continue. Per questo, in pratica, la continuità va controllata solo nei punti «sospetti»: dove un denominatore si annulla, dove cambia la definizione a tratti, dove finisce il dominio.

Tre modi di rompersi.

Prima specie (salto): limite destro e sinistro esistono finiti ma sono diversi. La parte intera $[x]$ in ogni intero $n$ : da sinistra tende a $n-1$ , da destra a $n$ . Anche $f(x)=x$ per $x<1$ , $f(x)=x+2$ per $x\ge 1$ salta di $2$ in $x=1$ .
Seconda specie: almeno uno dei due limiti è infinito o non esiste. $1/x$ in $0$ (asintoto verticale); $\sin(1/x)$ in $0$ (oscilla senza sosta tra $-1$ e $1$ ).
Terza specie (eliminabile): il limite esiste finito, ma la funzione lì non è definita o vale altro. $\frac{\sin x}{x}$ in $0$ : il limite è $1$ ; basta «tappare il buco» ponendo $f(0)=1$ e la funzione diventa continua.

Weierstrass. Se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ , allora ha massimo e minimo assoluti. Perché chiuso? $f(x)=x$ su $(0,1)$ è continua e limitata, ma non raggiunge mai né $0$ né $1$ : i candidati sono stati tagliati via. Perché limitato? $f(x)=x$ su $[0,+\infty)$ cresce per sempre. Perché continua? $f(x)=1/x$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$ , su $[-1,1]$ : esplode vicino a $0$ , nessun massimo. Il teorema è la garanzia che, nei problemi della sezione 3, il massimo che cerchi con la derivata esiste davvero.

Valori intermedi. Una funzione continua su $[a,b]$ assume ogni valore compreso tra il suo minimo e il suo massimo: non può «scavalcare» una quota senza attraversarla. È la penna che non si stacca, resa rigorosa.

Esistenza degli zeri. Caso particolare: se $f$ è continua su $[a,b]$ e $f(a)\cdot f(b)<0$ , esiste almeno un $c\in(a,b)$ con $f(c)=0$ . Per passare da sotto a sopra l'asse devi attraversarlo. Il teorema dice almeno uno, non esattamente uno: per l'unicità serve la monotonia, cioè la derivata di segno costante. E non dice dove: qui entra la bisezione della sezione 4, che dimezza l'intervallo conservando i segni opposti e stringe lo zero quanto vuoi.

Uso tipico: dimostrare che un'equazione ha soluzione senza risolverla. $x^3+x-1=0$ in $[0,1]$ : $f(0)=-1<0$ , $f(1)=1>0$ , $f$ continua, quindi c'è uno zero; $f'(x)=3x^2+1>0$ , quindi è unico.

Le formule che servono

Continuità in c

\lim_{x\to c} f(x)=f(c)

Discontinuità di 1ª specie (salto)

\lim_{x\to c^-}f(x)\ne\lim_{x\to c^+}f(x),\ \text{entrambi finiti}

Discontinuità di 2ª specie (infinito)

\text{almeno un limite laterale è }\pm\infty\text{ oppure non esiste}

Discontinuità di 3ª specie (eliminabile)

\exists\,\lim_{x\to c}f(x)=\ell\in\mathbb{R},\ \text{ma } f(c)\ne\ell \text{ o } f(c) \text{ non definito}

Weierstrass

f \text{ continua su } [a,b]\ \Rightarrow\ \exists\, x_m,x_M\in[a,b]:\ f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)\ \ \forall x\in[a,b]

Teorema degli zeri

f \text{ continua su } [a,b],\ f(a)\cdot f(b)<0\ \Rightarrow\ \exists\, c\in(a,b):\ f(c)=0

Rolle

f \text{ continua su } [a,b], \text{ derivabile su } (a,b),\ f(a)=f(b)\ \Rightarrow\ \exists\, c\in(a,b):\ f'(c)=0

Lagrange

f \text{ continua su } [a,b], \text{ derivabile su } (a,b)\ \Rightarrow\ \exists\, c\in(a,b):\ f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)

Conseguenze di Lagrange

f'=0 \text{ su } (a,b)\Rightarrow f \text{ costante};\qquad f'>0 \text{ su } (a,b)\Rightarrow f \text{ crescente}

Cauchy

f,g \text{ continue su } [a,b], \text{ derivabili su } (a,b),\ g'\ne 0 \text{ su } (a,b)\ \Rightarrow\ \exists\, c\in(a,b):\ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}

De l'Hôpital

f,g \text{ derivabili attorno a } c,\ \frac{f}{g}\to\frac{0}{0}\ \text{o}\ \frac{\infty}{\infty},\ g'\ne 0,\ \exists\lim\frac{f'}{g'}\ \Rightarrow\ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Differenziale

dy=f'(x)\,dx,\qquad \Delta y\approx f'(x)\,\Delta x

Retta tangente e normale in x₀

y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),\qquad y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\ \ (f'(x_0)\ne 0)

Massimo o minimo interno

f'(x_0)=0 \text{ e } f' \text{ cambia segno};\quad f''(x_0)<0\Rightarrow\max,\ f''(x_0)>0\Rightarrow\min

Bisezione

c=\frac{a+b}{2},\qquad |c_n-\bar{x}|\le\frac{b-a}{2^n}

Newton (tangenti)

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Un esempio svolto

Esercizio Una lattina cilindrica chiusa deve contenere 1 litro, cioè $1000\ \text{cm}^3$ . Quali raggio e altezza rendono minima la superficie totale, cioè la latta da usare?

Variabile e vincolo: raggio $r>0$ e altezza $h>0$ ; il volume è fissato: $\pi r^2 h=1000 \Rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2}$ .
Funzione obiettivo in una sola variabile: $S=2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$ , dominio $r>0$ .
Derivata: $S'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=0 \Rightarrow r^3=\frac{500}{\pi}\approx 159{,}2 \Rightarrow r\approx 5{,}42\ \text{cm}$ .
Controllo: $S'<0$ prima di $5{,}42$ e $S'>0$ dopo (oppure $S''=4\pi+\frac{4000}{r^3}>0$ ): è un minimo; agli estremi $S\to+\infty$ per $r\to 0^+$ e per $r\to+\infty$ , quindi è il minimo assoluto.
Altezza: $h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{2r^3}{r^2}=2r\approx 10{,}84\ \text{cm}$ : la lattina ottimale è alta quanto il suo diametro.
Superficie minima: $S\approx 2\pi\cdot 5{,}42^2+\frac{2000}{5{,}42}\approx 553{,}6\ \text{cm}^2$ .

Risultato $r=\sqrt[3]{500/\pi}\approx 5{,}42\ \text{cm}$ , $h=2r\approx 10{,}84\ \text{cm}$ , $S_{\min}\approx 553{,}6\ \text{cm}^2$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che «continua» voglia dire «senza staccare la penna». In realtà $1/x$ è continua in tutto il suo dominio: la continuità è per punti.
Credere che Rolle valga appena $f(a)=f(b)$ . In realtà serve la derivabilità interna: $|x|$ su $[-1,1]$ non ha tangenti orizzontali.
Credere che $f'(x)=0$ basti per il massimo. In realtà il massimo può stare agli estremi del dominio: confronta con $f(a)$ e $f(b)$ .
Credere che segni opposti agli estremi diano una sola radice. In realtà possono essercene tre o cinque: l'unicità viene dalla monotonia.
Credere che il teorema degli zeri garantisca un solo zero. In realtà ne garantisce almeno uno: per l'unicità serve la monotonia.
Credere che De l'Hôpital valga sempre. In realtà solo per $0/0$ e $\infty/\infty$ : su $\frac{x+1}{x+2}$ in $0$ dà $1$ anziché $\frac12$ .
Credere che il problema finisca trovando $x$ . In realtà il testo chiede spesso altro (dimensioni, area, tempo): torna alla domanda.
Credere che Newton converga sempre. In realtà se $f'(x_n)\approx0$ la tangente è quasi orizzontale e spara lontano: serve un buon $x_0$ .

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di teoremi del calcolo e ottimizzazione è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Funzioni continue e i loro teoremiUna funzione continua non fa salti: per questo su un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo e non può cambiare segno senza passare per lo zero.
Rolle, Lagrange, Cauchy e De l'HôpitalRolle e Lagrange non calcolano nulla: dicono che da qualche parte c'è un punto con la tangente «giusta». Da lì discendono fatti che usi ogni giorno senza saperlo: derivata positiva dà crescenza, derivata nulla dà costante, le primitive differiscono per una costante. E De l'Hôpital, con le ipotesi giuste, scioglie le forme 0/0.
Problemi di massimo e minimoTrovare il massimo di una funzione già scritta è tecnica: derivi, annulli, confronti. Il problema vero comincia prima, quando la funzione non c'è ancora e la devi costruire tu dal testo: scegliere la variabile, scrivere il vincolo, fissare il dominio. È lì che si sbaglia, ed è lì che lavora questa pagina.
Risoluzione approssimata delle equazioniUn'equazione come $x^3+x-1=0$ o $\cos x=x$ non ha una formula risolutiva utilizzabile: la soluzione esiste, ma nessuna manipolazione algebrica la tira fuori in una forma che si possa usare. Allora si cambia domanda: non «qual è la radice?», ma «come la stringo tra due numeri vicini quanto voglio?». È il passaggio dall'algebra al calcolo numerico.

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Un esercizio vero di teoremi del calcolo e ottimizzazione, corretto un passo alla volta.

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