Matematica · 5ª superiore

Equazioni differenziali: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di equazioni differenziali con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Che cos'è un'equazione differenziale

Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita non è un numero ma una funzione, e nell'equazione compaiono le sue derivate. È il linguaggio con cui la natura descrive il cambiamento: di un fenomeno quasi sempre sappiamo come varia, non quanto vale.

Finora le equazioni avevano per incognita un numero: $x^2-5x+6=0$ chiede «quale numero?». Un'equazione differenziale cambia domanda: l'incognita è una funzione $y(x)$ e nell'equazione compaiono le sue derivate. $y'=2y$ chiede «quale funzione ha derivata doppia di sé stessa?».

Perché la natura parla così. Di un fenomeno raramente conosciamo la legge $y(t)$ ; conosciamo invece come cambia istante per istante, e il cambiamento dipende dallo stato attuale. Una colonia di batteri cresce tanto più in fretta quanti più batteri ci sono: $N'=kN$ . Un caffè si raffredda tanto più in fretta quanto è più caldo dell'aria: $T'=-k(T-T_a)$ . La velocità di variazione è scritta in funzione dello stato: questa è un'equazione differenziale. Risolverla vuol dire ricostruire la storia intera $y(t)$ a partire dalla regola locale.

Ordine. È l'ordine della derivata più alta. $y'=ky$ è del primo ordine; $y''=-\omega^2 y$ (l'oscillatore della sezione 4) è del secondo. L'ordine conta perché dice quante costanti libere avrà la soluzione.

Soluzione generale e particolare. Risolvere $y'=2y$ non dà una funzione sola ma una famiglia: $y=Ce^{2x}$ per ogni $C$ reale. Verifica per sostituzione: $y'=2Ce^{2x}=2y$ , vero qualunque sia $C$ . La famiglia è la soluzione generale; fissare $C$ dà una soluzione particolare. Regola: una costante per ogni ordine, perché ogni derivata cancella una costante e per risalire si integra una volta per ordine.

Problema di Cauchy. Per scegliere la curva giusta servono le condizioni iniziali: per il primo ordine basta $y(x_0)=y_0$ ; per il secondo ne servono due, di solito posizione e velocità iniziali, $y(0)=y_0$ e $y'(0)=v_0$ . Ha senso fisico: la traiettoria di un sasso dipende da dove lo lancio e con quale velocità. Con $y'=2y$ e $y(0)=3$ : $3=Ce^0=C$ , quindi $y=3e^{2x}$ .

Il caso più semplice: $y'=f(x)$ . Se la derivata dipende solo da $x$ , l'equazione è una richiesta di primitiva:

y=\int f(x)\,dx + C

Tutte le primitive, non una sola: ecco di nuovo la costante. L'integrale indefinito è la prima equazione differenziale che hai risolto senza saperlo.

Campo di direzioni. Un'equazione $y'=F(x,y)$ si può vedere prima di risolverla: in ogni punto $(x,y)$ del piano assegna una pendenza $F(x,y)$ . Disegna in ogni punto un segmentino con quella pendenza: è il campo di direzioni. Le soluzioni sono le curve che in ogni punto seguono le frecce. Per $y'=2y$ le frecce sono orizzontali sull'asse $x$ e sempre più ripide allontanandosi: le esponenziali le seguono.

Esistenza e unicità. Se $F$ è abbastanza regolare, per ogni punto passa una e una sola soluzione. Due soluzioni non si incrociano mai: nel punto di incrocio l'equazione dovrebbe dare due pendenze diverse, impossibile. È questo che rende il problema di Cauchy ben posto: la condizione iniziale determina tutto il futuro.

Le formule che servono

Integrazione diretta

y'=f(x)\;\Rightarrow\; y=\int f(x)\,dx+C

Variabili separabili

y'=f(x)\,g(y)\;\Rightarrow\;\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx

Crescita e decadimento esponenziale

y'=ky\;\Rightarrow\; y=Ce^{kx}

Raffreddamento di Newton (k<0)

T'=k\,(T-T_a)\;\Rightarrow\; T=T_a+Ce^{kt}

Logistica (cenno)

y'=ky\left(1-\frac{y}{K}\right)\;\Rightarrow\; y=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}

Lineare: fattore integrante

\mu(x)=e^{\int a(x)\,dx},\qquad (\mu y)'=\mu\,b(x)

Lineare: soluzione generale

y=e^{-\int a\,dx}\left(\int b\,e^{\int a\,dx}\,dx+C\right)

Lineare a coefficienti costanti

y'+ay=b\;\Rightarrow\; y=Ce^{-ax}+\frac{b}{a}\quad(a\neq 0)

Equazione caratteristica

y''+by'+cy=0\;\Rightarrow\;\lambda^2+b\lambda+c=0,\quad\Delta=b^2-4c

Δ>0: due radici reali distinte

y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}

Δ=0: radice doppia

y=(C_1+C_2x)\,e^{\lambda x},\quad\lambda=-\frac{b}{2}

Δ<0: radici complesse α±iβ

y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right),\quad\alpha=-\frac{b}{2},\;\beta=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}

Oscillatore armonico

y''=-\omega^2y\;\Rightarrow\; y=A\cos(\omega t+\varphi)

Moto uniformemente accelerato

y''=a\;\Rightarrow\; y=\frac{1}{2}at^2+v_0t+y_0

Caduta con resistenza del mezzo

v'=g-\frac{k}{m}v\;\Rightarrow\; v=\frac{mg}{k}+Ce^{-\frac{k}{m}t}

Velocità limite (con v(0)=0)

v(t)=\frac{mg}{k}\left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right),\qquad v_{\infty}=\frac{mg}{k}

Un esempio svolto

Esercizio Risolvi il problema di Cauchy $y''+y'-6y=0$ con $y(0)=1$ e $y'(0)=-8$ : trova la soluzione generale, poi quella particolare, e verificala derivando.

Cerco soluzioni del tipo $y=e^{\lambda x}$ : sostituendo e dividendo per $e^{\lambda x}$ ottengo l'equazione caratteristica $\lambda^2+\lambda-6=0$ , con $\Delta=1+24=25>0$ : $\lambda_1=2$ , $\lambda_2=-3$ .
Due radici reali distinte, quindi la soluzione generale è $y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}$ , con derivata $y'=2C_1e^{2x}-3C_2e^{-3x}$ .
Impongo le condizioni iniziali in $x=0$ : $y(0)=C_1+C_2=1$ e $y'(0)=2C_1-3C_2=-8$ .
Dalla prima $C_1=1-C_2$ ; nella seconda: $2-2C_2-3C_2=-8$ , cioè $-5C_2=-10$ , quindi $C_2=2$ e $C_1=-1$ .
Soluzione particolare: $y=-e^{2x}+2e^{-3x}$ .

Risultato $y=-e^{2x}+2e^{-3x}$ . Verifica: $y'=-2e^{2x}-6e^{-3x}$ , $y''=-4e^{2x}+18e^{-3x}$ , quindi $y''+y'-6y=(-4-2+6)e^{2x}+(18-6-12)e^{-3x}=0$ ; inoltre $y(0)=-1+2=1$ e $y'(0)=-2-6=-8$ . Tutto torna.

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Credere che la soluzione sia un numero. In realtà è una funzione $y(x)$ , e la verifica si fa derivando e sostituendo nell'equazione.
Credere che $dy$ e $dx$ siano numeri da spostare a piacere. In realtà separare è la regola della catena travestita: usala sapendo perché.
Credere che «lineare» riguardi la $x$ . In realtà riguarda $y$ e $y'$ : $y'+x^2y=e^x$ è lineare, $y'=y^2$ no, e nemmeno $y'=\sin y$ .
Credere che con $\Delta=0$ basti $Ce^{\lambda x}$ . In realtà servono due costanti, e $xe^{\lambda x}$ va bene: $y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$ .
Tradurre «si raffredda in proporzione alla temperatura» con $T'=-kT$ . In realtà la proporzionalità è allo scarto dall'ambiente, $T'=-k(T-T_a)$ : altrimenti il modello manda il caffè a $0$ °C, in una stanza che sta a 20 °C.
Credere che $y'=2y$ abbia una sola soluzione. In realtà ne ha infinite, $y=Ce^{2x}$ : serve la condizione iniziale per sceglierne una.
Credere che dividere per $g(y)$ sia sempre lecito. In realtà dove $g(y)=0$ si perdono le soluzioni costanti, spesso proprio gli equilibri.
Credere che nel fattore integrante serva la costante, $e^{A(x)+c}$ . In realtà $e^c$ si semplifica: la $C$ compare solo dopo l'integrazione.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di equazioni differenziali è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Che cos'è un'equazione differenzialeL'incognita è una funzione che compare con le sue derivate: serve perché le leggi della natura dicono come una grandezza cambia, non quanto vale.
Variabili separabili e modelli di crescitaSe la derivata è il prodotto di una funzione di $x$ e una di $y$ , l'equazione si smonta: tutto ciò che riguarda $y$ da una parte, tutto ciò che riguarda $x$ dall'altra, e si integra. È il metodo dietro crescita esponenziale, decadimento radioattivo, raffreddamento e popolazioni che si saturano.
Equazioni lineari del primo ordineUn'equazione è lineare del primo ordine se $y$ e $y'$ compaiono «al primo grado»: $y'+a(x)\,y=b(x)$ . Spesso non è separabile, ma un trucco la risolve sempre: moltiplicarla per un fattore che rende il primo membro la derivata di un prodotto. È l'equazione del circuito RC e del paracadutista.
Secondo ordine a coefficienti costanti e la legge di NewtonLa legge di Newton $F=ma$ è un'equazione del secondo ordine: lega l'accelerazione $x''$ alla posizione. Per $y''+by'+cy=0$ il tentativo giusto è $y=e^{\lambda x}$ , che la trasforma in un'equazione di secondo grado. Da lì escono il moto uniformemente accelerato, l'oscillatore armonico e le oscillazioni smorzate.
Dal fenomeno all'equazione: modellizzareNelle sezioni precedenti l'equazione ti è sempre arrivata già scritta: il tuo lavoro era risolverla. Fuori dall'esercizio non funziona così. Hai una frase in italiano — «i contagi crescono in proporzione a quanti sono già malati» — oppure una tabella di misure, e l'equazione devi produrla tu. Questa sezione riguarda quel passaggio e la domanda che viene subito dopo: fino a che punto ci si può fidare dell'equazione che hai scritto.

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