Successioni e progressioni: come si fa, formule ed esempio svolto

Pensiamo a una fila ordinata di numeri, uno dopo l'altro, senza fine: il primo, il secondo, il terzo, e così via. È questa l'immagine intuitiva di una successione. Ma per capirla davvero dobbiamo guardarla con gli occhi di una funzione.

Una successione è semplicemente una funzione che ha come dominio i numeri naturali. A ogni $n \in \mathbb{N}$ la successione fa corrispondere uno e un solo numero reale, che indichiamo con $a_n$ e chiamiamo termine generale o termine $n$-esimo.

Qui dobbiamo fare subito una scelta e dichiararla con chiarezza: in questa trattazione partiamo da $n = 1$, cioè $n = 1, 2, 3, \dots$. Il primo termine è dunque $a_1$, e lo $0$ non fa parte degli indici: non esiste un $a_0$. È bene saperlo perché alcuni testi includono lo $0$ fra i naturali e fanno partire le successioni da $a_0$; entrambe le convenzioni vanno bene, l'importante è fissarne una e restare coerenti. Noi useremo sempre $n \ge 1$.

La scrittura $a_n$ va letta così: la lettera $a$ ci dice di quale successione stiamo parlando, mentre l'indice $n$ ci dice quale posto stiamo guardando. Quindi $a_1$ è il primo termine, $a_5$ il quinto, $a_{100}$ il centesimo.

Qui sta la differenza profonda con una funzione ordinaria $f(x)$: in una successione la variabile non scorre con continuità su tutta la retta reale, ma salta di numero naturale in numero naturale. Per questo il grafico di una successione non è una linea continua, ma una collezione di punti isolati.

Ci sono due modi naturali per assegnare una successione.

Il primo è la forma esplicita: scriviamo una formula che, dato $n$, ci restituisce subito $a_n$. Per esempio $a_n = 2n$ ci dice che basta moltiplicare la posizione per $2$.

Il secondo è la definizione per ricorrenza: invece di dire direttamente quanto vale $a_n$, diciamo da dove partire (uno o più termini iniziali) e poi spieghiamo come ottenere il termine successivo da quelli precedenti. È come una regola del tipo: "per fare il prossimo passo, guarda il passo che hai appena fatto". Questa idea del "costruire un termine a partire dal precedente" è il cuore di tutto ciò che incontreremo dopo.

Una volta che abbiamo una successione, possiamo chiederci come si comporta nel tempo. Qui serve un po' di precisione nelle parole. Diciamo che una successione è strettamente crescente se ogni termine è maggiore del precedente, cioè $a_{n+1} > a_n$ per ogni $n$; è strettamente decrescente se invece $a_{n+1} < a_n$. Quando però ammettiamo anche l'uguaglianza, cioè $a_{n+1} \ge a_n$, parliamo di successione crescente in senso debole (e analogamente $a_{n+1} \le a_n$ per quella decrescente in senso debole). La distinzione conta: con la disuguaglianza stretta ($>$) la lista deve sempre salire davvero, mentre in senso debole ($\ge$) può anche restare ferma per un tratto. La monotonia è in ogni caso il modo rigoroso per dire se la lista "sale" o "scende" man mano che avanziamo.