Numeri complessi: come si fa, formule ed esempio svolto

Per capire i numeri complessi non bisogna partire dalle formule, ma da un imbarazzo che la matematica si porta dietro da secoli: alcune equazioni semplicissime non hanno soluzioni. La domanda vera non è «come si calcola», ma «perché abbiamo avuto bisogno di inventare numeri nuovi».

Pensiamo all'equazione più innocua che si possa immaginare: $x^2 = -1$. Tra i numeri reali non c'è alcuna soluzione, e il motivo è profondo, non casuale. Il quadrato di un numero reale è sempre $\ge 0$: positivo per positivo, positivo per negativo, e nullo solo per zero. Quindi nessun numero reale, elevato al quadrato, potrà mai restituire un valore negativo.

Per molto tempo questa è stata considerata semplicemente la fine del discorso: «non esiste, punto». Ma c'è un atteggiamento più produttivo, ed è quello che la matematica ha scelto. Invece di dire «non esiste», ci si chiede: e se esistesse? Cosa succederebbe se inventassimo un nuovo numero, il cui quadrato vale $-1$?

Questo numero nuovo lo chiamiamo unità immaginaria e lo indichiamo con la lettera $i$. La sua unica regola fondante è $$i^2 = -1.$$ Il nome «immaginaria» è storico e un po' fuorviante: $i$ non è meno reale di $\sqrt{2}$ o di $\pi$. È semplicemente un numero che vive fuori dalla retta dei reali, e questo è il punto chiave da cui tutto il resto discende.

Una piccola ma importante precisazione di linguaggio. Capita di sentir dire che $i$ è «la radice di $-1$»: è un modo di parlare comodo e intuitivo, e in questo testo lo useremo a volte in senso discorsivo, per dire «il numero che, al quadrato, fa $-1$». Attenzione però: questa è una frase, non una notazione. Non si deve mai scrivere $\sqrt{-1}=i$ trattando $\sqrt{\ }$ come la radice quadrata dei reali, perché le regole di quella radice (in particolare $\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}$) non valgono sui numeri negativi e portano a contraddizioni. La definizione solida, da tenere come unica bussola, resta $i^2=-1$.

Una volta accettato $i$, possiamo costruire numeri della forma $$z = a + bi,$$ dove $a$ e $b$ sono numeri reali ordinari. Chiamiamo $a$ la parte reale e $b$ la parte immaginaria (attenzione: la parte immaginaria è $b$, il numero reale, non $bi$). Un numero così fatto si dice numero complesso, e l'insieme di tutti questi numeri si indica con $\mathbb{C}$.

La cosa elegante è che i numeri reali non vengono buttati via: sono i complessi con parte immaginaria nulla, cioè della forma $a + 0i = a$. Quindi $\mathbb{R}$ è contenuto dentro $\mathbb{C}$, come un caso particolare. Non abbiamo distrutto nulla: abbiamo ampliato il mondo dei numeri, esattamente come un tempo si era ampliato dai naturali agli interi (per poter fare $3-5$) e dagli interi ai razionali (per poter fare $1 \div 3$).

Il vero guadagno, che si scoprirà più avanti, è che in $\mathbb{C}$ ogni equazione polinomiale ha tutte le soluzioni che il suo grado promette. Non ci saranno più equazioni «senza soluzione»: questo è il senso ultimo, il perché dell'intera costruzione.