Matematica · 4ª superiore

Probabilità: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di probabilità con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Che cos'è la probabilità

Partiamo da una domanda semplicissima, di quelle che ci poniamo ogni giorno senza accorgercene: quanto è probabile che domani piova, che esca testa, che peschi proprio l'asso di cuori? La probabilità nasce esattamente qui, dal bisogno di dare un numero alla nostra incertezza. Non per indovinare il futuro, ma per misurarlo.

Tutto comincia con l'idea di esperimento aleatorio. È un esperimento il cui risultato non possiamo prevedere con certezza, anche se conosciamo benissimo le regole del gioco: il lancio di un dado, l'estrazione di una pallina da un'urna, il giro di una roulette. La parola aleatorio viene dal latino alea, il dado: è lo stesso alea della celebre frase "il dado è tratto".

Di un esperimento aleatorio noi conosciamo una cosa importante: tutti i risultati che potrebbero capitare. L'insieme di questi risultati possibili si chiama spazio campionario e si indica con $\Omega$ . Per un dado, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . È fondamentale capire che $\Omega$ è la "cornice" entro cui tutto accade: prima ancora di parlare di probabilità, dobbiamo aver chiaro qual è il mondo dei possibili.

Un evento è semplicemente un sottoinsieme di $\Omega$ , cioè una collezione di risultati che ci interessa. "Esce un numero pari" è l'evento $\{2, 4, 6\}$ ; "esce un numero maggiore di 4" è $\{5, 6\}$ . Pensare agli eventi come a insiemi non è un dettaglio formale: è la chiave che ci permetterà, più avanti, di combinarli con le operazioni insiemistiche.

E veniamo al cuore della questione: come si assegna un numero a un evento? La definizione classica, che risale a Laplace, parte da un'ipotesi precisa e onesta: tutti i risultati di $\Omega$ devono essere ugualmente possibili, cioè non avere alcun motivo per preferirne uno a un altro (si dice che ci sono simmetria e equiprobabilità). Quando questa ipotesi è ragionevole — un dado non truccato, una moneta equilibrata, un mazzo ben mescolato — allora

P(E) = \frac{\text{numero di casi favorevoli}}{\text{numero di casi possibili}}.

Il perché di questa formula è quasi disarmante: se i sei esiti del dado sono intercambiabili, è giusto spartire equamente tra loro tutta la "certezza", dando a ciascuno un sesto. Un evento che raccoglie tre di questi esiti raccoglie allora tre sesti. La probabilità, in fondo, è un modo di distribuire equamente l'incertezza tra i possibili esiti.

Da questa idea discende una proprietà che vale sempre, non solo nel caso classico: la probabilità è un numero compreso tra $0$ e $1$ . Vale $0$ per l'evento impossibile (zero casi favorevoli, l'insieme vuoto) e vale $1$ per l'evento certo (tutti i casi sono favorevoli, l'intero $\Omega$ ). Tutto ciò che è incerto sta nel mezzo. Possiamo leggere questo numero anche in percentuale: $0{,}5$ è il celebre "50 e 50", la totale ignoranza simmetrica.

Vale la pena aggiungere che la definizione classica non è l'unica porta d'ingresso. Quando gli esiti non sono equiprobabili — pensa alla probabilità che un certo giocatore segni un rigore — si ricorre alla visione frequentista, in cui la probabilità è la frequenza a cui un evento tende ripetendo l'esperimento moltissime volte. Ma l'idea profonda resta la stessa: la probabilità è una misura, sempre tra $0$ e $1$ , della nostra aspettativa razionale.

Le formule che servono

Definizione classica

P(E) = \dfrac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} = \dfrac{f}{n}

Range di probabilità

0 \le P(E) \le 1

Probabilità del contrario

P(\bar{E}) = 1 - P(E)

Somma (unione)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Somma eventi incompatibili

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Probabilità condizionata

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0

Prodotto (eventi dipendenti)

P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)

Prodotto eventi indipendenti

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Formula di Bayes

P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Distribuzione binomiale

P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Un esempio svolto

Esercizio Da un mazzo di 40 carte napoletane se ne estrae una. Calcola la probabilità che esca una figura (donna, cavallo o re) oppure una carta di denari.

Definiamo gli eventi: $A$ = "esce una figura" e $B$ = "esce una carta di denari". Cerchiamo $P(A \cup B)$ .
Le figure sono 3 per ogni seme (donna, cavallo, re) e i semi sono 4, quindi $P(A) = \dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10}$ .
Le carte di denari sono 10 (dall'asso al re), quindi $P(B) = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}$ .
Le carte che sono sia figura sia di denari sono 3 (donna, cavallo e re di denari), quindi $P(A \cap B) = \dfrac{3}{40}$ .
Applico la formula della somma: $P(A \cup B) = \dfrac{12}{40} + \dfrac{10}{40} - \dfrac{3}{40} = \dfrac{19}{40}$ .

Risultato $P(A \cup B) = \dfrac{19}{40} = 0{,}475$ , cioè il $47{,}5\%$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Applicare la formula classica quando gli esiti non sono equiprobabili: contare i casi ha senso solo se sono tutti sullo stesso piano (un dado truccato non si tratta così).
Sommare sempre $P(A) + P(B)$ per l'unione: è corretto solo se gli eventi sono incompatibili; con eventi compatibili va sottratta l'intersezione.
Moltiplicare $P(A)\cdot P(B)$ sempre: la formula "prodotto secco" vale solo per eventi indipendenti; in caso di dipendenza serve $P(A \mid B)$ aggiornata.
Scambiare $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$ : è l'errore che il teorema esiste proprio per correggere. "Test positivo dato malato" non è "malato dato test positivo".
Confondere $\Omega$ con l'evento: lo spazio campionario è il mondo di tutti i possibili, l'evento è solo la parte che ci interessa.
Scambiare "o" ed "e": "o" corrisponde all'unione (più ampia), "e" all'intersezione (più ristretta); confonderle stravolge il calcolo.
Confondere $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$ : condizionare su $B$ o su $A$ dà in generale numeri diversi (è proprio l'asimmetria che il teorema di Bayes risolverà).
Dimenticare la probabilità a priori $P(A)$ : ragionare solo sull'accuratezza del test, ignorando quanto è raro l'evento, porta a sovrastimare gravemente la conclusione.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di probabilità è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Che cos'è la probabilitàLa probabilità è una misura del grado di fiducia in un evento incerto. Nel caso classico, con esiti tutti ugualmente possibili, vale $p = \dfrac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$ , ed è sempre un numero compreso tra $0$ e $1$ .
Eventi e loro combinazioniRaramente ci interessa un solo evento isolato. Più spesso vogliamo sapere se accade questo oppure quello, oppure se accadono entrambi. Avendo definito gli eventi come insiemi, abbiamo già in mano tutti gli strumenti per metterli in relazione: bastano le operazioni che conosciamo dalla teoria degli insiemi, lette con gli occhi della probabilità.
Probabilità composta e condizionataFinora abbiamo trattato la probabilità come qualcosa di fissato una volta per tutte. Ma nella realtà l'informazione cambia tutto. La probabilità che una persona presa a caso sia un campione di scacchi è bassissima; se però ti dico che ha appena vinto un torneo internazionale, quella probabilità schizza in alto. La probabilità condizionata è proprio lo strumento per aggiornare le nostre stime quando arriva una notizia.
Il teorema di BayesSiamo arrivati al climax del percorso. C'è un'asimmetria fastidiosa nella probabilità condizionata: spesso sappiamo calcolare $P(B \mid A)$ — la probabilità di un sintomo data la malattia, di un allarme dato l'incendio — ma quello che davvero ci interessa è il verso opposto, $P(A \mid B)$ : quanto è probabile la malattia visto il sintomo, l'incendio visto l'allarme. Il teorema di Bayes è lo strumento che capovolge il condizionamento e ci fa passare dalla causa all'effetto, e ritorno.

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