Matematica · 2ª superiore

Probabilità (biennio): come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di probabilità (biennio) con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Evento e spazio campionario

Il caso sembra sfuggente, ma diventa domabile appena decidiamo di scriverlo per intero. Prima ancora di parlare di "quanto è probabile", un matematico si pone una domanda più umile: quali cose possono succedere?

Immagina di lanciare un dado. Prima di chiederti se "esce un numero pari", devi avere in mente la lista completa di ciò che può accadere: $1,2,3,4,5,6$ . Questa lista, questo catalogo di tutti gli esiti possibili di una prova, si chiama spazio campionario e si indica con $\Omega$ . È il palcoscenico su cui recita il caso: nulla può succedere fuori da $\Omega$ .

Un singolo esito, come "esce il $3$ ", è un evento elementare: un mattone indivisibile. Ma la maggior parte delle domande interessanti non riguarda un singolo mattone, bensì un gruppo. "Esce un numero pari" non è un esito, è l'insieme $\{2,4,6\}$ . Ecco l'idea centrale e potente: un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario. Un evento è, in fondo, una domanda a cui ogni prova risponde con un secco sì (l'esito appartiene al sottoinsieme) o no.

Questo è il ponte silenzioso che regge tutta la teoria: gli eventi sono insiemi. Per questo tutto ciò che sai sugli insiemi — appartenenza, unione, intersezione, complementare — torna a servirti qui. Quando dici "l'evento $E$ si è verificato" stai solo dicendo che l'esito uscito è un elemento di $E$ . Descrivere bene $\Omega$ è metà del lavoro: se sbagli il palcoscenico, ogni conto successivo, per quanto corretto, risponde alla domanda sbagliata.

Le formule che servono

Probabilità classica

P(E) = \dfrac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} = \dfrac{f}{n}

Intervallo di probabilità

0 \le P(E) \le 1

Evento certo e impossibile

P(\Omega) = 1 \quad\text{e}\quad P(\varnothing) = 0

Probabilità del contrario

P(\bar{E}) = 1 - P(E)

Somma (unione)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Eventi incompatibili

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Prodotto (eventi indipendenti)

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Probabilità condizionata

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \ne 0

Prodotto (eventi dipendenti)

P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)

Probabilità frequentista

P(E) \approx \dfrac{n_E}{N}

Un esempio svolto

Esercizio Da un'urna contenente 5 palline rosse e 3 palline verdi (8 in totale) si estraggono due palline, una dopo l'altra, senza rimettere la prima nell'urna. Qual è la probabilità che entrambe le palline estratte siano rosse?

L'evento è l'intersezione di due estrazioni dipendenti, quindi uso $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ .
Prima estrazione: le rosse sono $5$ su $8$ palline, quindi $P(A) = \dfrac{5}{8}$ .
Seconda estrazione (senza reimmissione): è già uscita una rossa, restano $4$ rosse su $7$ palline totali, quindi $P(B \mid A) = \dfrac{4}{7}$ .
Moltiplico le due probabilità: $P(A \cap B) = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56}$ .
Semplifico la frazione: $\dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}357$ .

Risultato La probabilità che entrambe le palline siano rosse è $P = \dfrac{5}{14} \approx 35{,}7\%$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere l'esito elementare con l'evento: "esce pari" non è un numero ma un insieme di numeri.
Applicare la formula quando gli esiti non sono equiprobabili (es. le somme di due dadi): contare non basta più.
Credere che probabilità $0$ e probabilità $1$ si annullino tra loro: sono i due estremi della scala, non opposti da sommare a caso.
Scambiare 'oppure' con 'e': l'unione è più ampia (almeno uno), l'intersezione è più stretta (tutti e due).
Sommare sempre $P(A)+P(B)$ dimenticando di sottrarre l'intersezione quando gli eventi sono compatibili.
Dimenticare esiti nel costruire $\Omega$ : con due lanci $TC$ e $CT$ sono distinti, non lo stesso caso.
Contare male i casi possibili cambiando criterio a metà (con o senza reimmissione, con o senza ordine).
Confondere il contrario "almeno uno" con "esattamente uno": il vero contrario di 'almeno uno' è 'nessuno'.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di probabilità (biennio) è divisa in 5 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Evento e spazio campionarioPrima di misurare il caso bisogna elencarlo: lo spazio campionario $\Omega$ è l'insieme di tutti gli esiti possibili, un evento è un suo sottoinsieme, cioè una domanda a cui la prova risponde sì o no.
La definizione classica di probabilitàUna volta che il caso è tutto scritto davanti a noi, misurarlo diventa quasi un gesto di buon senso: contare le occasioni buone e dividerle per tutte le occasioni. Ma dentro quella frazione si nasconde un'ipotesi delicata.
Eventi certo, impossibile e contrarioAgli estremi della scala del caso vivono due eventi speciali, uno che non fallisce mai e uno che non riesce mai. E in mezzo c'è un'idea elegante: a volte è molto più facile ragionare su ciò che NON succede.
Unione e intersezione di eventiNella vita reale le domande sul caso quasi mai sono singole: vogliamo sapere se accade questo OPPURE quello, oppure se accadono entrambi. Le due paroline 'oppure' ed 'e' sono, in realtà, due operazioni tra insiemi.
La probabilità dell'unioneVerrebbe spontaneo dire: la probabilità di 'A oppure B' è la somma delle due. A volte è vero, ma spesso questa mossa nasconde un errore sottile e affascinante, che si corregge con un solo termine.

Argomenti collegati

Prima di questo

Mat 1ªStatistica descrittiva

Dopo, prosegui con

Mat 4ªCalcolo combinatorio Mat 4ªProbabilità

Stesso anno

Mat 2ªSistemi lineari Mat 2ªRadicali Mat 2ªEquazioni di secondo grado Mat 2ªDisequazioni

Tutti i 70 argomenti di matematica e fisica →

Ora prova tu.

Un esercizio vero di probabilità (biennio), corretto un passo alla volta.

Fai un esercizio di probabilità (biennio) con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.