Matematica · 4ª superiore

Goniometria: come si fa, formule ed esempio svolto

Qui trovi la spiegazione, le formule che servono e un esempio svolto. Quando hai capito, fai un esercizio vero con il tutor di Atlante: ti fa la domanda giusta finché ci arrivi tu, e se sbagli ti dice dove, non cosa scrivere.

Fai un esercizio di goniometria con il tutor Gratis, senza registrarti. Il tutor non ti dà la risposta: ti ci porta.

Da dove si parte

Angoli, radianti e circonferenza goniometrica

Prima di parlare di seno e coseno dobbiamo metterci d'accordo su una cosa apparentemente banale: come si misura un angolo? La risposta non è unica, e capire perché esistono due unità diverse - i gradi e i radianti - è già metà del lavoro.

Fin dalle medie misuriamo gli angoli in gradi: un giro completo vale $360°$ . È una scelta comoda e antica (i Babilonesi amavano il numero $60$ ), ma è una scelta arbitraria. Niente in natura dice che un giro debba valere proprio $360$ di qualcosa: potremmo dividere il giro in $100$ parti, o in $400$ , e funzionerebbe lo stesso.

C'è però un modo di misurare gli angoli che non è arbitrario, perché nasce dalla geometria stessa del cerchio. Immagina un angolo con il vertice nel centro di una circonferenza. Quell'angolo "taglia" un arco. Se la circonferenza ha raggio $1$ , allora la lunghezza di quell'arco è la misura in radianti dell'angolo. In una parola: il radiante misura l'angolo usando il pezzo di cerchio che esso ritaglia.

Da qui nasce il numero più importante della goniometria. La lunghezza dell'intera circonferenza di raggio $1$ è $2\pi$ . Quindi un giro completo non vale $360$ , vale $2\pi$ radianti. Mezzo giro vale $\pi$ , un quarto di giro vale $\frac{\pi}{2}$ . Il legame tra le due unità è tutto qui: $360°$ e $2\pi$ descrivono lo stesso giro.

Il luogo dove ambientiamo tutta la teoria è la circonferenza goniometrica: una circonferenza di raggio $1$ con il centro nell'origine degli assi. La scegliamo di raggio $1$ proprio perché così l'arco e l'angolo in radianti coincidono, e perché, come vedremo, le coordinate dei suoi punti diventano direttamente seno e coseno, senza fattori di disturbo.

Un'ultima idea, sottile ma decisiva: l'angolo è orientato. Stabiliamo di partire sempre dal semiasse positivo delle $x$ e di considerare positivo il verso antiorario, negativo quello orario. Questo permette di dare un senso anche ad angoli più grandi di un giro o negativi: un angolo non è solo "un'apertura", è un cammino lungo la circonferenza. Ed è proprio perché possiamo continuare a girare oltre $2\pi$ che, più avanti, nasceranno infinite soluzioni e l'idea di periodicità.

Le formule che servono

Identità fondamentale

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Tangente

\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Cotangente

\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{1}{\tan\alpha}

Da gradi a radianti

\alpha_{rad} = \alpha_{gradi}\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}

Archi associati (supplementari)

\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha

Angoli opposti

\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha

Addizione del seno

\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

Addizione del coseno

\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

Duplicazione

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha

Relazione tangente-coseno

1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}

Un esempio svolto

Esercizio Sapendo che $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ e che $\alpha$ è un angolo del quarto quadrante (cioè $\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$ ), calcola $\sin\alpha$ e $\tan\alpha$ .

Uso l'identità fondamentale $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ per ricavare il seno: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ .
Sostituisco il valore noto: $\sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ .
Estraggo la radice: $\sin\alpha = \pm\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \pm\dfrac{4}{5}$ . Devo scegliere il segno.
Nel quarto quadrante il seno è negativo, quindi $\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}$ .
Calcolo la tangente con $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-4/5}{3/5} = -\dfrac{4}{3}$ .

Risultato $\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}$ e $\tan\alpha = -\dfrac{4}{3}$ .

Nell’app l’esempio lo svolgi tu: il tutor controlla ogni passo e, se sbagli, ti dice dove.

Gli errori tipici

Confondere gradi e radianti: $\frac{\pi}{2}$ non è "circa $1{,}57$ gradi", è $90°$ . Sono unità diverse, come metri e piedi.
Pensare che seno e coseno esistano solo per angoli acuti: la definizione tramite le coordinate li estende a tutti gli angoli.
Credere che $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha + \sin\beta$ : è l'errore più diffuso. Seno e coseno non sono lineari.
Cercare "la" soluzione dimenticando le altre: se $x_0$ funziona, funzionano anche tutti gli $x_0 + 2k\pi$ . Le soluzioni sono infinite.
Pensare che $\pi$ sia un angolo "strano": $\pi$ radianti è semplicemente l'angolo piatto, $180°$ .
Scambiare ascissa e ordinata: il coseno è l'orizzontale (asse $x$ ), il seno il verticale. Errore frequentissimo.
Scambiare i segni nel coseno: in $\cos(\alpha+\beta)$ compare un meno, in $\sin$ un più. Confonderli rovina tutto.
Trovare un solo angolo nel giro: per un dato $m$ ci sono in genere due posizioni distinte sul cerchio, non una.

Come lo insegna Atlante

Nell’app la teoria di goniometria è divisa in 4 sezioni, con un grafico interattivo da muovere. Ogni passaggio si può chiedere al tutor, che spiega il perché prima del come.

Angoli, radianti e circonferenza goniometricaUn angolo si può misurare in gradi o in radianti: il radiante lega l'angolo alla lunghezza dell'arco, e la circonferenza goniometrica (raggio $1$ ) è il palcoscenico naturale su cui tutto questo accade.
Seno, coseno e tangenteSeno e coseno spesso vengono introdotti come rapporti tra lati di un triangolo. È vero, ma è una visione stretta: vale solo per angoli acuti. La definizione vera, quella che funziona per qualsiasi angolo, vive sulla circonferenza goniometrica.
Identità e formule goniometricheIn goniometria si incontrano molte formule, e lo studente è tentato di vederle come un elenco da memorizzare. In realtà nascono tutte da poche idee geometriche. Capire da dove vengono e a cosa servono vale più che ricordarle a una a una.
L'idea di equazione goniometricaUn'equazione goniometrica è un'equazione in cui l'incognita è un angolo nascosto dentro un seno, un coseno o una tangente. La domanda "quanto vale $x$ ?" cambia di natura rispetto alle equazioni viste finora, e capire perché è la chiave di tutto.

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